Сопряженный Функтор

понятие, выражающее универсальность и естественность многих важных математич. Конструкций. Свободных универсальных алгебр, различных пополнений, прямых и обратных пределов и т. Д. Пусть - одноместный ковариантный функтор из категории в категорию Функтор Fиндуцирует функтор где - категория, двойственная категории - категория множеств, - основной теоретико-множественный функтор. Функтор HF контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. Аналогично, любой ковариантный функтор индуцирует функтор также контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Функторы Fи Gсопряжены, или образуют сопряженную пару, если функторы Н F и Н G изоморфны, т. Е. Существует естественное преобразование к-рое устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами морфизмов и для любых объектов и Преобразование наз.

Сопряжением F с G. Функтор Fназ. Левым сопряженным к функтору G, a G - правым сопряженным к F (что обозначается или просто Преобразование наз. Косопряжением. Пусть Для любых объектов и пусть Семейства морфизмов и определяют естественные преобразования и к-рые наз. Соответственно единицей и коединицей сопряжения Для преобразований и справедливы следующие равенства. Вообще, пара естественных преобразований и состоит из единицы и коединицы нек-рого сопряжения, когда выполнены равенства для любых объектов Х и Y. Естественное преобразование является единицей нек-рого сопряжения тогда и только тогда, когда для любого морфизма из категории существует такой единственный морфизм в категории что Последнее свойство выражает тот факт, что объект F(X)свободен над Xотносительно функтора G в смысле следующего определения.

Объект вместе с морфизмом свободен над объектом если всякий морфизм однозначно представим п виде для нек-рого морфизма Функтор тогда и только тогда обладает левым С. Ф., когда для каждого существует объект Y, свободный над Xотносительно G. Примеры С. Ф. 1) Если где - категория множеств, то G обладает левым С. Ф. Тогда и только тогда, когда он представим. Представимый функтор обладает левым С. Ф. Тогда и только тогда, когда в имеются любые копроизведения где и А x=А для всех 2) В категории множеств для любого множества Аосновной функтор HA(Y) = H(A, Y) сопряжен слева функтору 3) В категории абелевых групп функтор Hоm (A, Y )сопряжен слева функтору тензорного умножения на А, а функтор вложения полной подкатегории периодич.

Групп сопряжен справа функтору взятия нериодич. Части произвольной абелевой группы. 4) Пусть - пренебрегающий функтор из произвольного многообразия универсальных алгебр в категорию множеств. Функтор Робладает левым С. Ф. к-рый каждому множеству Xсопоставляет свободную алгебру многообразия с множеством Xсвободных образующих. 5) Функтор вложения произвольной рефлективной подкатегории категории сопряжен слева -рефлектору. В частности, функтор вложения категории абелевыx групп в категорию групп обладает левым С. Ф., к-рый каждой группе Gсопоставляет ее факторгруппу по коммутанту. Свойства С. Ф. Функтор, сопряженный слева к данному функтору, определен однозначно с точностью до изоморфизма функторов. Сопряженный слева функтор унивалентен тогда и только тогда, когда единица сопряжения состоит из мономорфизмов.

Он перестановочен с копределами и переводит нулевые объекты и нулевые морфизмы в нулевые объекты и нулевые морфизмы соответственно. Пусть и - полные слева и локально малые слева категории. Функтор тогда и только тогда обладает сопряженным слева функтором когда выполнены следующие условия. А) функтор G перестановочен с пределами. Б) для каждого хотя бы одно из множеств Н( Х, G(Y), непусто. В) для каждого существует такое множество что всякий морфизм представим в виде где Переход к двойственным категориям позволяет установить двойственность между понятиями лфунктор, сопряженный слева.