Спектральная Теория

линейных операторов - раздел функционального анализа, изучающий структуру линейного оператора на основании свойств его спектральных характеристик (расположения спектра, поведения резольвенты, асимптотики собственных значений и т. Д.). При этом под описанием структуры оператора может пониматься нахождение эквивалентного ему оператора в фиксированном классе конкретных (часто функциональных) моделей. Определенный способ его восстановления из совокупности более простых операторов (напр., в форме прямой суммы или прямого интеграла). Отыскание базиса, в к-ром матрица оператора имеет наиболее простой вид, доказательство полноты системы корневых векторов. Полное описание решетки инвариантных подпространств, выделение максимальных цепочек инвариантных подпространств (треугольное представление).

Построение достаточно широкого функционального исчисления и т. Д. Весьма популярна (и плодотворна) в С. Т. Идея разложения оператора в прямую сумму операторов, соответствующую разбиению его спектра. Первые (для пространств бесконечной размерности) результаты такого рода получил Ф. Рисс (F. Riesz, 1909), предложивший следующую конструкцию. Пусть Т - ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве X, -его спектр, - его резольвента (т. Е. тогда формула где Г - произвольный контур, охватывающий определяет функциональное исчисление на алгебре ростков голоморфных функций в окрестности Если - открыто-замкнутое подмножество и f- функция, равная 1 в окрестности и 0 в окрестности то получается проектор перестановочный с Т итакой, что Более общая С.

Т. Основывается на понятии спектрального подпространства. Спектральным многообразием оператора Т, соответствующим замкнутому подмножеству наз. Совокупность всех векторов имеющих в локальную резольвенту (т. Е. Аналитическую Х-значную функцию удовлетворяющую условию спектральное подпространство - это замыкание спектрального многообразия. Если любые две локальные резольвенты одного и того же вектора совпадают на пересечения областей их определения (это означает, что локальная резольвента нулевого вектора равна нулю - условие, выполненное, напр., для всех операторов без собственных значений), то говорят, что оператор имеет свойство однозначного распространения. В этом случае для каждого определена локальная резольвента с максимальной областью определения, дополнение к к-рон наз.

Л о-кальным спектром оператора Тна векторе хи обозначается Таким образом, для оператора Т, обладающего свойством однозначного распространения, если при этом замкнуто, то В общем случае аналогичное включение для спектральных подпространств не выполнено. Спектральные подпространства удовлетворяют условию дуальности - непересекающиеся замкнутые множества), однако другое естественное условие (G1 и G2 открыты, может нарушаться. Это включение становится справедливым, если его правую часть заменить лслабым спектральным подпространством.