Спинорное Представление

простейшее точное линейное представление спинорной группы,Spinn(Q) или определяющее его линейное представление объемлющей четной алгебры Клиффорда С +=-С +(Q). Если основное поле . Алгебраически замкнуто, то алгебра С+ изоморфна полной матричной алгебре (при n=2m+l) или алгебре (при п=2т). Тем самым определено линейное представление r алгебры С + в пространстве размерности 2 т над K, к-рое наз. Спинорным. Ограничение наз. С. П. Группы Spinn(Q). С. П. При нечетном пнеприводимо, а при четном n распадается в прямую сумму двух неэквивалентных неприводимых представлений и к-рые наз. Полуспинорными. Элементы пространства С. И. Наз. Спинорами, а полуспинорных - полуспинорами. С. П. Спинорной группы Spinn caмоконтрагредиентно при любом полуспинорные представления и спинорной группы Spin2m caмоконтрагредиентны при четном .

И контрагредиентны друг другу при нечетном т. С. П. Группы Spinn точно при любом полуспинорные представления группы Spin2m точны при нечетном . И имеют ядро, состоящее из двух элементов, при четном m. Если квадратичная форма Qзадана в пространство Vнад нек-рым подполем то С. П. Не всегда определено над k. Однако, если индекс Витта квадратичной формы Qмаксимален, то есть равен [n/2] (в частности, если поле kалгебраически замкнуто), то спинорное и полуспинорные представления определены над k. В этом случае указанные представления могут быть описаны следующим образом (см. [1]). Пусть Lи М - непересекающиеся определенные над kмаксимальные вполне изотропные (относительно симметрической билинейной формы в V, ассоциированной с квадратичной формой Q) подпространства в V, CL- подалгебра в алгебре Клиффорда C=C(Q), порожденная подпространством и - произведение твекторов, составляющих определенный над kбазис пространства М.

Если n=2тчетно, то С. П. Реализуется в простом левом идеале Се M и действует там с помощью левых сдвигов. Далее соответствие определяет изоморфизм векторных пространств что позволяет реализовать С. П. В пространстве CL, естественно изоморфном внешней алгебре над пространством L. При этом полуспинорные представления и реализуются в инвариантных 2m-1 -мерных подпространствах и Если пнечетно, то пространство . Можно включить в (n+1)-мерное векторное пространство над kиопределить в V1 квадратичную форму Q1, положив при всех и При этом Q1 -определенная над kневырожденная квадратичная форма максимального индекса Витта на четномерном векторном пространстве V1. С. П. Алгебры С +(Q) (группы Spinn (Q) получается путем ограничения любого пз полуспинорных представлений алгебры С +(Q1) (группы Spinn+1(Q1)) на подалгебру C+(Q) (соответственно подгруппу Spinn(Q).

В случае, когда " a k- алгебраически замкнутое поле характеристики 0, решена задача классификации спиноров (см. [4], [8]. [9]), к-рая состоит в 1) описании всех орбит группы r (Spinn) в пространстве спиноров, т. Е. Указании в каждой орбите нек-рого единственного представителя, 2) вычислении стабилизаторов группы Spinn в каждом из этих представителей, 3) описании алгебры инвариантов линейной группы Существование снинорных и полуспинорных представлений алгебр Ли групп Spinn было открыто Э. Картаном (E. Cartau) в 1913, когда он классифицировал все неприводимые конечномерные представления простых алгебр Ли [6]. Впоследствии, в 1935 Р. Брауэр (R. Brauer) и Г. Вейль (Н. Wеyl) описали спинорные и полуспинорные представления в терминах алгебр Клиффорда [5].

П. Дирак (P. Dirac, [3]) обнаружил, что при помощи спиноров в квантовой механике описывается вращение электрона. Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. Cфранц., М., 1966. [2] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. С нем., М., 1947. [3] Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. С англ., 2 изд., М., 1079. [4] Попов В. Л., лТр. Моск. Матем. Об-ва.