Сплайн-аппроксимация

приближенное представление функции или приближенное восстановление функции из заданного класса по неполной информации (напр., по значениям на сетке) с помощью сплайнов. Как и в классич. Теории приближения функций, изучаются линейные методы С.-а., включая сплайн-интерполяцию, наилучшие методы, а также аппроксимации классами нелинейных сплайнов, напр. Сплайнами с нефиксированными узлами. Наилучшие приближения сплайнами. Изучаются вопросы существования, единственности, характеристич. Свойства наилучшего сплайна (н. С.) (см. Наилучшего приближения элемент), а также порядки, асимптотика и точные верхние грани уклонений сплайнов от заданного класса функций. Сплайны с фиксированными узлами не образуют Чебышева систему, поэтому в С[ а, b]нет единственности н.

С. И характеристич. Свойства н. С. Сложнее, чем характиристич. Свойства Наилучшего приближения многочлена (см. [8]).Однако в L[ а, b]для подкласса непрерывных, функций н. С., если они склеиваются из гладких функций, образующих систему Чебышева на [ а, b], обладают свойствами единственности [2]. Сплайны с фиксированной гладкостью, но с нефиксированными узлами (предполагается, что число узлов не превосходит заданного числа) не образуют замкнутого множества, поэтому здесь может не существовать н. С. Порядок приближения может быть охарактеризован следующим результатом [6]. где - полиномиальный сплайн степени тс узлами в точках сетки - модуль гладкости порядка kв Lq[ а, b]и функция f(x)имеет абсолютно непрерывную (l-1)-ю производную и l- юиз i=0,1,..., l-1.

При в (1) можно iзаменить на i-1 и убрать множитель Более слабые аналоги неравенства (1) получены для многомерных сплайнов. Напр., если -пространство Соболева) и - совокупность сплайнов (степени не выше kпо каждой переменной) с равномерными узлами и шагом hи область удовлетворяет строгому условию конуса (см. Вложения теоремы),то Для равномерной сетки и класса порядок правой части в (1) при равен Если рассматривать приближение сплайнами степени тгладкости m-1 с нефиксированными узлами, число к-рых не превосходит п, то за счет выбора узлов можно добиться [7], чтобы порядок аппроксимации был равен п -m-1+i. Для наилучшего равномерного приближения нек-рых классов периодических функций полиномиальными сплайнами с равномерными узлами имеется ряд окончательных результатов.

Напр., для класса где - выпуклый модуль непрерывности, подсчитана верхняя грань уклонения от сплайнов степени r[4]. Она совпадает с соответствующим поперечником этого класса. Изучаются также наилучшие приближения сплайнами при дополнительных ограничениях на его старшую Производную [13]. В связи с изучением наилучших квадратурных формул естественно возникает задача наилучшего приближения специальной функции (b - t)r (см. Моносплайн). Линейные методы приближения сплайнам и начали изучать раньше наилучших приближении. При этом преимущественно изучались приближения. интерполяционными сплайнами (и. С.) (см. [1], [3], [5]). И. С. Часто дают тот же порядок приближения, что и наилучшие. Это является одним из преимуществ перед интерполированием многочленами.

Так, если функция f(х)имеет непрерывную r-ю производную на то для приближения полиноми- адьными и. С. Sn(x,h) степени с равномерными узлами интерполяции xi=ih, и узлами сплайна справедлива оценка [6]. При изучении и. С. С произвольными узлами в качестве параметра приближения выбирается максимальное расстояние между узлами интерполяции. Обычно узлы интерполяции и узлы сплайна тесно связаны между собой. В приложениях наиболее широко используются полиномиальные и. С. S3(x)3-й степени - кубические сплайны. Это связано с тем, что построение таких сплайнов сводится в большинстве случаев к решению системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей, имеющей доминирующую главную диагональ. Решение таких систем легко реализуется на ЭВМ.

Кроме того, если функция f(х)имеет непрерывную k-ю, производную на [ а, b], то имеют место оценки где - узлы интерполяции. При k=1, 2 константа с>0 не зависит от f и от сеток При k=0 и k=3 на последовательность сеток налагаются дополнительные ограничения. Аналог этого результата имеет место также для многомерных кубических сплайнов, а также для сплайнов большей степени. И. С. Нечетной степени обладает рядом экстремальных свойств. Напр., среди всех функций, имеющих абсолютно непрерывную ( т -1)-ю производную на [ а, b] и m-ю производную из L2 [ а, b]и принимающих в точках {xi}, a<x0<x1<. .<xn<b, заданные значения {yi}, полиномиальный сплайн S2m-1(x) с узлами { х i}, принимающий в точках {xi} значения { у i}, имеющий непрерывную (2т-2)-ю производную на [ а, b]и совпадающий на [а, х 0 )и ( х п, b] смногочленами степени не выше т -1, имеет наименьшую норму т -й производной в L2 [ а, b].

Это свойство послужило основой для многочисленных обобщений сплайнов. Для нек-рых классов функций верхняя грань уклонений от и. С. Совпадает с верхней гранью уклонений для н. С., напр. Для класса при Сплайны играют важную роль в задаче сглаживания [3], [5] сеточной функции, заданной с погрешностью. С помощью сплайнов строятся базисы [5] и ортонормированные базисы [9], Лебега константы к-рых ограничены. Методы С.-а. Тесно связаны с численным решением уравнений в частных производных методом конечных элементов, в основе к-рого лежит Ритца метод при специальном выборе базисных функций. В методе конечных элементов в качестве базисных функций выбираются кусочно полиномиальные функции, т. Е. сплайны. Пусть, напр., - ограниченная область из к-рую можно разложить на конечное число правильных треугольных подобластей Т i, Для фиксированного iмногочлен определяется из условий где функция f(р)непрерывна на и - вершины треугольника Т i, а - середины его сторон.

Пусть S(р) = Р i (р) при i=0, 1, . ., N. Если то где h - длина стороны треугольника Ti и с-абсолютная постоянная. Лит.:[1] Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж., Теория сплайнов и се приложения, пер. С англ., М., 1972. [2] Галкин П. В., лМатем. Заметки.