Степенной Ряд

1)С. Р. По одному комплексному переменному z - функциональный ряд вида где a - центр ряда, bk - его коэффициенты, bk(z-a)k - члены ряда. Существует число r, называемое радиусом сходимости С. Р. (1) и определяемое по формуле Коши - Адамара такое, что при |z-а|<r ряд (1) абсолютно сходится, а при |z- а|>r - расходится (теорема Коши - Адамара). В связи с этим круг на плоскости комплексного переменного z наз. Кругом сходимости С. Р. (см. Рис. 1). В случае r=0 круг сходимости вырождается в единственную точку z=a, напр. Для С. Р. (этот случай интереса не представляет, и всюду в дальнейшем предполагается, что r>0). В случае круг сходимости совпадает со всей плоскостью напр. Для С. Р. Множество сходимости, т. Е. Совокупность всех точек сходимости С.

Р. (1), в случае кроме точек круга сходимости D, может включать все или нек-рые точки, или ни одной точки окружности сходимости Круг сходимости в этом случае есть внутренность множества точек абсолютной сходимости С. Р. Внутри круга D, т. Е. На любом компакте С. Р. (1) сходится абсолютно и равномерно. Таким образом, сумма ряда s(z) определена и является регулярной аналитич. Цией по крайней мере в круге D. При этом на окружности Sона имеет по меньшей мере одну особую точку, аналитич. Родолжение в к-рую суммы s(z) невозможно. Существуют С. Р., имеющие на Sв точности одну особую точку, равно как н С. Р., у к-рых вся окружность Sсостоит из особых точек. В случае ряд (1) либо обрывается, т. Е. Представляет собой многочлен либо его сумма s(z) есть целая трансцендентная функция, регулярная во всей плоскости и имеющая в бесконечности существенно особую точку.

Обратно, само понятие аналитичности функции f(z) в точке асостоит в том, что f(z) в нек-рой окрестности аразлагается в С. Р. к-рый является для f(z) рядом Тейлора, т. Е. Его коэффициенты определяются формулами В связи с этим важно свойство единственности С. Р. Если сумма s(z)ряда (1) обращается в нуль на бесконечном множестве имеющем предельную точку внутри D, то и все bk=-0, k=0, 1, . В частности, если s(z)=0 в окрестности нек-рой точки то и все bk=0. Таким образом, всякий С. Р. Есть ряд Тейлора для своей суммы. Пусть наряду с С. Р. (1) имеется другой С. Р. с тем же центром аи радиусом сходимости r1>0. Тогда по крайней мере в круге где имеют смысл сложение, вычитание и умножение С. Р. (1) и (3) по формулам. Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности справедливы, причем вычитание есть действие, обратное сложению.

Таким образом, множество С. Р. С положительными радиусами сходимости и фиксированным центром есть кольцо над полем С. Если то возможно и деление С. Р. причем коэффициенты dk однозначно определяются из бесконечной системы уравнений При r>0 и r1>0 радиус сходимости ряда (5) также положительный. Пусть для простоты в (1) и (3) Тогда сложная функция будет регулярной в окрестности начала координат, и процедура разложения ее в С. Р. Носит название подстановки ряда в ряд. Коэффициент gm в(6) получается как сумма одноименных коэффициентов в разложениях каждой из функций а эти последние разложения получаются путем n-кратного умножения ряда для самого на себя. Ряд (6) заведомо сходится при где таково, что Пусть опять и, кроме того, Задача построения ряда для обратной функции к-рая при указанных условиях регулярна в окрестности начала, наз.

Обращением ряда (3). Ее решением является ряд Лагранжа. (о более общей задаче обращения см. В ст. Бюрмана- Лагранжа ряд). Если С. Р. (1) сходится в нек-рой точке то он абсолютно сходится для всех z таких, что |z-а|<. |z0 -а| ,- в этом состоит первая теорема Абеля. Эта теорема также позволяет установить вид области сходимости С. Р. Более тонкий результат представляет собой вторая теорема Aбeля. Если С. Р. (1) сходится в точке на окружности сходимости S, то т. Е. Сумма ряда s(z) в точке имеет радиальное граничное значение s(z0 )и, следовательно, непрерывна вдоль радиуса более того, s(z)имеет и угловое граничное значение s(z0). Эту теорему (1827) можно считать первым крупным результатом в направлении исследования граничных свойств С.

Р. Обращение второй теоремы Абеля без дополнительных ограничений на коэффициенты С. Р. Невозможно. Однако, если предположить, напр., что bk=0(1/k )и существует предел то ряд сходится к сумме s0. Такого рода частичные обращения второй теоремы Абеля получили название тауберовых теорем. Другие результаты о граничных свойствах С. Р. И, в частности, о расположении особых точек С. Р. См. В статьях Адамара теорема, Аналитическое продолжение, Граничные свойства аналитических функций, Фату теорема (см. Также [3] - [5]). 2) С. Р. По многим комплексным переменным z=(z1, . Zn), n>1, или кратный С. Р.- функциональный ряд вида где - центр ряда, точка комплексного пространства Областью сходимости DС. Р. (7) наз. Внутренность множества точек абсолютной сходимости, но при п>1 она не имеет столь простого вида, как при n=1.

Область Dпространства тогда и только тогда является областью сходимости нек-рого С. Р. (7), когда D - логарифмически выпуклая полная кратно круговая область пространства Если нек-рая точка то замыкание поликруга где r=(r1, . ., rn), также принадлежит Dи ряд (7) сходится в абсолютно и равномерно (аналог первой теоремы Абеля). Поликруг U(a, r), r=(r1, . ., rn), наз. Поликругом сходимости С. Р. (7), если но в любом несколько большем поликруге где и по крайней мере одно неравенство строгое, имеются точки, в к-рых ряд (7) расходится. Радиусы поликруга сходимости наз. Сопряженными радиусами сходимости С. Р. (7), они удовлетворяют соотношению, являющемуся аналогом формулы Коши - Адамара. где Область сходимости Dисчерпывается поликругами сходимости.

Напр., для ряда поликруги сходимости имеют вид а область сходимости (на рис. 2 она изображена на абсолютной четверть-плоскости). Свойство единственности С. Р. Сохраняется в том смысле, что если s(z) = 0 в нек-рой окрестности точки z0 в (достаточно даже в т. Е. На множестве то и все bk=0. Действия с кратными С. Р. Производятся в основном по тем же правилам, что и в случае n=1. Другие свойства кратных С. Р. См., напр., [8], [9]. 3) С. Р. По действительным переменным х= (x1, . ., xn), - функциональный ряд вида где использованы сокращенные обозначения, как и в (7), - центр ряда. Если ряд (8) абсолютно сходится в нек-ром параллелепипеде то он абсолютно сходится и в поликруге r=(r1,. ., rn). При этом сумма ряда s(x), будучи аналитич.

Цией действительных переменных x= (x1, . ., х п )в П, аналитически продолжается в виде С. Р. до аналитич. Ции s(z) комплексных переменных z=x+iy=(z1=x1+iyl, . ., zn=-xn+iyn )в U( а, r). Если D- область сходимости С. Р. (9) в пространстве комплексных переменных z=x+iy, то сужение области Dна пространство действительных переменных x=(x1,. ., х п) является областью сходимости С. Р. (8), В частности, при n=1 область Dявляется кругом сходимости, а его сужением является интервал сходи мости на числовой оси где r - радиус сходимости. Лит.:[1] Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972. [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967. [3] Титчмарш Е., Теория функций, пер.

Е англ., М.-Л., 1951. [4] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. С нем., М., 1967. [5] Landau E., Darstellung und Begrundung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, 2 Aufl., В., 1929. [6] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1984. [7] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. [8] Бохнер С., Мартин У. Т., Функции многих комплексных переменных, пер. С англ., М., 1951. [9] Янушаускас А. И., Двойные ряды, Новосиб., 1980. Е. Д. Соломенцев.