Стохастическая Матрица

квадратная (возможно, бесконечная) матрица с неотрицательными элементами такими, что при любом i. Множество всех С. М. N-го порядка представляет собой выпуклую оболочку п n С. М., составленных из нулей и единиц. Любую С. М. Рможно рассматривать как переходных вероятностей матрицу цепи Маркова с дискретным временем. Абсолютные величины собственных значений С. М. Не превосходят единицы. Единица является собственным значением любой С. М. Если С. М. Рнеразложима (цепь Маркова имеет один положительный класс состояний), то единица является простым собственным значением матрицы Р(т. Е. Имеет кратность 1). В общем случае кратность собственного значения 1 совпадает с числом положительных классов цепи Маркова Если С. М. Неразложима и положительный класс состояний цепи Маркова имеет период d, то множество всех собственных значений матрицы Р, как множество точек комплексной плоскости, переходит в себя при повороте на угол При d=l С.

М. Ри цепь Маркова наз. Непериодическими. Левые собственные векторы С. М. Рконечного порядка, соответствующие единичному собственному значению. и удовлетворяющие условиям определяют стационарные распределения цепи Маркова в случае неразложимой С. М. Рстационарное распределение единственно. Если Р - неразложимая непериодическая С. М. Конечного порядка, то существует где П - матрица, каждая строка к-рой совпадает с вектором (см. Также Маркова цепь эргодическая;для бесконечных С. М. Система уравнений (1) может не иметь ненулевых решений, удовлетворяющих условию в этом случае матрица П - нулевая). Скорость сходимости в (2) можно оценить геометрич. Прогрессией с любым показателем к-рый по модулю больше всех собственных значений матрицы Р, отличных от 1.

Если - С. М. Ге-го порядка, то любое ее собственное значение удовлетворяет неравенству (см. [3]). Описано множество М п, являющееся объединением множеств собственных значений всех С. М. N-го порядка (см. [4]). С. М. удовлетворяющая дополнительному условию наз. Дважды стохастической матрицей. Множество дважды стохастич. Матриц n-го порядка представляет собой выпуклую оболочку перестановочных матриц ге-го порядка (т. Е. Дважды стохастич. Матриц, составленных из нулей и единиц). Стационарное распределение конечной цепи Маркова с дважды стохастич. Матрицей Рявляется равномерным. Лит.:[1] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967. [2] Беллман Р., Введение в теорию матриц, пер. Е англ., М., 1969. [3] Маркус М., Минк X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер.

С англ., М., 1972. [4] Карпелевич Ф. И., лИзв. АН СССР. Сер. Матем..