Суммирование Рядов Фурье

построение средних рядов Фурье с помощью суммирования методов. Наиболее развита теория С. Р. Ф. По тригонометрич. Системе. В этом случае для функций с рядами Фурье изучаются свойства средних, соответствующих рассматриваемому методу суммирования. Напр., для Абеля - Пуассона метода суммирования средними являются гармонические в единичном круге функции а для средних арифметических метода суммирования - суммы Фейера Кроме названных, наиболее важными в теории одномерных тригонометрич. Рядов являются Чезаро методы суммирования, Рисса метод суммирования, Римана метод суммирования, Бернштейна - Рогозинского, метод суммирования, Балле Пуссена метод суммирования. Рассматриваются также методы суммирования, порождаемые более или менее произвольной последовательностью -множителей С.

Р. Ф. Применяется в следующих задачах. Представление функций с помощью рядов Фурье. Напр., средние Абеля - Пуассона f(r, x )при и суммы Фейера при сходятся к функции f(х)в точках ее непрерывности, причем сходятся равномерно, если f непрерывна во веех точках. Для каждой функции эти средние сходятся к ней в метрике L. Частные суммы рядов Фурье указанными свойствами не обладают. Построение полиномов с хорошими аппроксимативными свойствами. Фактически с помощью С. Р. Ф. Было установлено Джексона неравенство. Для решения этой задачи, наряду с использованием известных методов суммирования, были предложены новые методы - Джексона сингулярный интеграл, Балле Пуссена суммы. В терминах средних рядов Фурье можно характеризовать многие свойства функций.

Напр., функция f является существенно ограниченной в том и только том случае, когда существует такая постоянная М, что для всех n и х. Существенную роль играет С. Р. Ф. В теории кратных тригонометрич. Рядов. Так, вместо сферических частных сумм чаще используют их средние Рисса достаточно высокого порядка. Рассматривается также С. Р. Ф. По другим ортонормированным системам функций - как по конкретным системам или классам систем, напр., по ортогональным многочленам, так и по произвольным ортонормированным системам. Лит.:[1] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961. [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 1-2, пер. С англ., М., 1965. [3] Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. С англ., М., 1951. [4] Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер.

С. Нем., М., 1958. [5] Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960. С. А. Теляковский.