Сферических Гармоник Метод

способ приближенного решения кинетич. Уравнения с помощью разложения фазовой плотности частиц в конечную сумму по сферич. Функциям от аргументов, задающих направление скорости частицы (см. [1]). Метод широко применяется при решении задач нейтронной физики. В одномерной плоской геометрии стационарное интегро-дифференциальное кинетич. Уравнение переноса (при изотропном рассеянии частиц) приближенно заменяется системой дифференциальных уравнений для - приближенных значений коэффициентов Фурье Система вида возникает при условии Здесь - фазовая плотность частиц, распространяющихся в веществе, с - среднее число вторичных частиц, возникающих в одном акте взаимодействия с частицами вещества, - многочлен Лежандра степени п.

Система (3) определяет Р 2N-1 -приближение С. Г . М. Для уравнения (1). Приближенное значение фазовой плотности Для уравнения (1) типичные краевые условия имеют вид. Таковы, напр., краевые условия для задачи нейтронной физики о критич. Режиме слоя толщины hсо свободными поверхностями х=0 и x=h (границы с вакуумом). В этой задаче необходимо найти положительное решение (1), (6) и собственное значение с. ВС. Г. М. Вместо (6) естественно взять Однако такой подход дает в два раза больше условий, чем необходимо для частного решения системы (3). На практике был испытан различный выбор значений пв (7). Наилучший результат дают условия с n=2k+1, k=0, 1, . N-1. Для односкоростного уравнения переноса общего вида из Владимирова вариационного принципа получается система уравнений С.

Г. М. И указанные граничные условия (при выборе пробных функций в виде линейной комбинации сферических гармоник). Для трехмерной геометрии граничные условия можно записать в виде Здесь r- вектор пространственной координаты, - единичный вектор скорости частицы, имеющий сферич. Координаты - единичный вектор внешней нормали к кусочно гладкой поверхности Г, ограничивающей выпуклую область пространства, в к-рой решается задача - сферич. Функции, - присоединенные функции Лежандра 1-го рода - многочлены Лежандра). Низшие приближения С. Г. М. (P1, P3 )широко используются при решении задач нейтронной физики и дают хорошие результаты вдали от границ области, от источников и сильных поглотителей нейтронов. Теория возраста также строится в P1 -приближении.

Обобщенное решение С. Г. М. Сходится к решению уравнения переноса при (см. [2]). Скорость сходимости легко оценить, сравнив интегральные уравнения для и т. Е. Оценив близость их ядер. Уравнение (1) с граничными условиями (6) приводит к интегральному уравнению с ядром Система С. Г. М. (3) при граничных условиях, аналогичных (6), где - корни приводит к интегральному уравнению с ядром где а i - веса квадратурной формулы Гаусса для системы узлов Особенность, к-рую имеет функция приводит к медленной сходимости при больших N. Приближенное собственное значение сходится к точному со скоростью 1/N2. Граничные условия (9) возникают естественно при решении кинетич. Уравнения методом дискретных ординат, к-рый состоит в замене (1) на приближенную систему Метод дискретных ординат в одномерной геометрии эквивалентен С.

Г. М. (см. [3]), т. К. Система (10) может быть получена из (3) спомощью линейного преобразования неизвестных функций. Однако в многомерных задачах С. Г. М. В низших приближениях дает большую точность, чем метод дискретных ординат. Лит.:[1] Mapчук Г. И., Лебедев В. И., Численные методы в теории переноса нейтронов, 2 изд., М., 1981. [2] Султангазин У. М., лЖ. Вычисл. Матем. И матем. Физ..