Тор

- тело, полученное от вращения замкнутого круга вокруг оси, лежащей в плоскости этого круга и его не пересекающей. Центр круга описывает окружность, наз. Осевой окружностью Т., ее центр наз. Центром Т. Плоскость осевой окружности Т. Наз. Экваториальной плоскостью Т., а лежащие на Т. Границы кругов, получающихся из данного круга его вращением,- меридианами Т. Поверхность Т., радиус-вектор к-рой в декартовых координатах евклидова пространства Е 3 имеет вид (здесь ( и, v)- внутренние координаты, а - радиус вращающейся окружности, l - радиус осевой окружности, - эксцентриситет), часто также наз. Тором. Ее линейный элемент а кривизна Т.- частный случай вращения поверхности и каналовой поверхности. Стопологич.

Точки зрения Т.- произведение двух окружностей и потому Т.- двумерное замкнутое многообразие рода нуль. Если это произведение метрическое, то его можно реализовать в Е 4 или в эллиптич. Пространстве Э 3 в виде поверхности Клиффорда. Ее уравнением в Е 4, напр., будет Естественное обобщение Т.- многомерный тор - топологическое произведение нескольких экземпляров окружности S, т. Е. Многообразия всех комплексных чисел, равных по модулю единице. Естественная гладкость на Sопределяет на Т. Структуру гладкого многообразия, а естественная мультипликативная структура на Sиндуцирует на Т. Структуру связной компактной коммутативной вещественной группы Ли. Последние группы играют важную роль в теории групп Ли, и их также называют торами (см.

Ли компактная группа, Максимальный тор, Картана подгруппа). Четномерный Т. Допускает комплексную структуру. При выполнении нек-рых условий такая структура превращает Т. В абелево многообразие (см. Также Комплексный тор). В структурной теории алгебраич. Групп у Т., как у вещественной группы Ли, имеется важный аналог - алгебраический тор (см. Также Алгебраическая группа, Линейная алгебраическая группа). Алгебраич. Тор сам не является Т. (в случае основного поля комплексных чисел), но обладает подгруппой, к-рая является Т. И на к-рую он стягивается (как топологич. Пространство). Точнее, алгебраич. Тор, как группа Ли, изоморфен произведению нек-рого Т. И нескольких экземпляров мультипликативной группы положительных действительных чисел.

М. И. Войцеховский, В. Л. Попов.