Фукса Уравнение

уравнение класса Фукса - линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение в комплексной области с аналитич. Оэффициентами, все особые точки к-рого на Римана сфере являются регулярными особыми точками. Для того чтобы уравнение (1) принадлежало классу Фукса, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты имели вид где z1, ..., zk - различные точки, qj(z) - многочлен степени Система w'=A(z)wиз пуравнений принадлежит классу Фукса, если она имеет вид где z1, ..., zk - различные точки, - постоянные матрицы порядка Особыми для уравнения (1) и системы (2,) являются точки z1, ..., zk, оо (бесконечность). Для Ф. У. (1) справедливо тождество Фукса. где -характеристич. Показатели в точке zm, а -в точке Ф.

У. (и системы) наз. Также регулярными уравнениями (системами). Этот класс уравнений и систем был введен Л. Фуксом [1]. Пусть D- сфера Римана с проколами в точках z1, ..., zk, Любое нетривиальное решение Ф. У. (1) (соответственно любая компонента решения системы (2)) есть аналитическая в области Dфункция. Как правило, эта функция бесконечнозначна, а все особые точки уравнения (1) (системы (2)) являются ее точками ветвления бесконечного порядка. Ф. У. 2-го порядка с особыми точками имеет вид где Qk-2 (z) - многочлен степени k-2. Преобразование переводит Ф. У. В Ф. У., причем а характеристич. Показатели в остальных особых точках не меняются. С помощью таких преобразований уравнение (3) приводится к виду Ф. У. 2-го порядка, имеющее Nособых точек, полностью определяется заданием характеристич.

Показателей в этих точках тогда и только тогда, когда N<4. С помощью дробно-линейного преобразования уравнение приводится к виду. A) N=1,б) N=2, (Эйлера уравнение). В) N=3 - Папперица уравнение (или уравнение Римана). Матричное Ф. У. Имеет вид где z1, ..., zk - различные точки, W- матрица-функция порядка -постоянные матрицы. Матрица U т наз. Дифференциальной подстановкой в точке zm. Пусть - простая замкнутая кривая с началом в неособой точке b, положительно ориентированная и содержащая внутри себя только одну особую точку zm. Если W(z)- голоморфное в точке bрешение уравнения (4), то при аналитич. Родолжении вдоль где V т - постоянная матрица, наз. Интегральной подстановкой в z т. А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [2]) поставил для систем вида (4) задачу, к-рая наз.

Прямой регулярной задачей Пуанкаре. Она состоит из следующих трех задач. A) представление решения W(z)во всей области его существования. Б) построение интегральных подстановок в точках 2m. B) аналитич. Характеристика особенностей решений. В частности, решение задачи Б) позволяет построить группу монодромии уравнения (4). Решение задачи Пуанкаре было получено И. А. Лаппо-Данилевскйм [3]. Пусть - гиперлогарифмы. W0(z) - элемент (росток) в точке Ь решения уравнения (4), нормированный условием W0(b)=I и W(z) - аналитическая в области . Матрица-функция, порожденная этим элементом. Тогда W(z)есть целая функция от матриц U1 ,. ., Uk и разлагается в ряд к-рый сходится равномерно по z на любом компакте Интегральная подстановка Vm в точке zm, отвечающая решению W(z), есть целая функция от матриц U1...., Uk и разлагается в ряд где Pj выражаются через гиперлогарифмы (см.

[3], [6]). Получены также формулы, дающие решение задачи В) (см. [3]). Лит.:[1] Fuchs L., лJ. Reine und angew. Math..