Частичная Проблема

собственных значений - задача вычисления одного или нескольких собственных значений квадратной матрицы, обычно действительной или комплексной, а также соответствующих им собственных векторов. Чаще всего в практике встречаются следующие варианты Ч. П. Собственных значений. 1) найти группу наименьших (наибольших) по абсолютной величине собственных значений. 2) найти группу собственных значений, ближайших к заданному числу a. 3) найти точки спектра, принадлежащие заданному интервалу (для симметричной или эрмитовой матрицы). Большинство методов решения Ч. П. Собственных значений для матриц общего вида имеет в основе идею степенной итерации или ее разновидность- обратную итерацию (см. Итерационные методы решения проблемы собственных значений матрицы).

Если матрица Аобладает доминирующим по абсолютной величине собственным значением и - соответствующий собственный вектор, то для почти любого вектора . Последовательность v, Аv, А2v, . , Akv, . Сходится по направлению к вектору xmax. Если требуется наименьшее по абсолютной величине собственное значение (задача 2)), то степенная итерация проводится с матрицей А~1 (метод обратной итерации). При вычислении собственного значения, ближайшего к а(задача 3)),- с матрицей ( А-а)-1 (метод обратной итерации со сдвигом). Наиболее важный частный случай Ч. П. Собственных значений - вычисление собственных значений и собственных векторов действительной симметричной либо комплексной эрмитовой матрицы А. З десь имеется ряд эффективных численных методов решения Ч.

П. Собственных значений, основанных на весьма различных идеях (см. [1]). Среди них. Методы, использующие экстремальные свойства функционала Рэлея (наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы Ареализуют соответственно максимум и минимум отношения Рэлея достигаются эти экстремумы на соответствующих собственных векторах). Методы, использующие закон инерции Сильвестра (метод последовательности Штурма и, более общо, методы деления спектра). Наконец, методы, базирующиеся на аппроксимационных свойствах крыловских подпространств, т. Е. Линейных оболочек систем вида v, Av, ..., Ak-lv (метод Ланцоша и его варианты). Выбор того или иного метода определяется такими соображениями, как порядок задачи, степень разреженности матрицы, наличие ленточной структуры, доступная информация о спектре и т.

Д. Методы решения Ч. П. Собственных значений как в общем, так и в эрмитовом случае можно разделить на групповые и последовательные. Групповые методы характеризуются тем, что в них нужные собственные значения (и соответствующие собственные векторы) вычисляются в известной мере параллельно. Сюда относятся многочисленные методы одновременных итераций, метод Ланцоша, методы деления спектра. В последовательных методах собственные значения определяются поочередно. При этом, начиная со второго собственного значения, возникает необходимость воспрепятствовать тому, чтобы итерации сходились к ранее найденным корням. С этой необходимостью связаны различные приемы исчерпывания (или дефляции) [2]. В одних случаях исчерпывание приводит к построению матрицы у к-рой вычисленным собственным значениям Асоответствуют нулевые корни.

В остальном спектр обеих матриц совпадает, совпадают и их собственные векторы. В других случаях результатом исчерпывания является расщепление матрицы, вследствие чего последовательные собственные значения можно определить, пользуясь матрицами убывающих порядков. В третьих - итерации метода с неизменной матрицей Асопровождаются ортогонализацией по отношению к прежде вычисленным собственным векторам. Приемы исчерпывания могут использоваться и групповыми методами. Лит.:[1] Парлетт Б., Симметричная проблема собственных значений. Численные методы, пер. С англ., М., 1983. [2] Уилкинсон Дж., Алгебраическая проблема собственных значений, пер. С англ., М., 1970. X. Д. Икрамов.