Чеха Когомологии

, когомологии Александрова - Чеха, спектральные когомологии,- прямой предел когомологии с коэффициентами в абелевой группе Gнервов всевозможных открытых покрытий топологич. Пространства X. Когомологни замкнутого подмножества могут быть определены аналогичным образом с помощью подсистем всех тех множеств из к-рые имеют непустое пересечение с А. Предел групп пар определяет когомологии Н n(X, A. G )пары (X, А). Когомологич. Последовательность пары (X, А)точна как предел точных когомологич. Последовательностей пар нервов Когомологии Александрова - Чеха служат заменой сингулярных когомологии в общих категориях топологич. Пространств и совпадают с ними всякий раз, когда применение последних не вызывает сомнений (а именно, в случае гомологически локально связных, в частности, локально стягиваемых пространств).

Они удовлетворяют всем Стинрода - Эйленберга аксиомам и в категории паракомпактных пространств однозначно определяются этими аксиомами вместе со следующими требованиями. А) Н р = 0 при р<. 0. Б) когомологии дискретного объединения естественно изоморфны прямому произведению когомологий пространств в) для системы всех окрестностей произвольной точки Когомологии Александрова-Чеха изоморфны когомологиям Александера -Спеньера. Они могут быть определены с коэффициентами в пучке и для паракомпактных пространств изоморфны когомологиям, определяемым в теории пучков. Возможность аппроксимации пространств полиэдрами - нервами замкнутых покрытий установлена П. С. Александровым (см. [1] -[3]). Для частного случая им было дано определение обратного предела топологич.

Пространств, а на основе аппроксимации - определение чисел Бетти метризуемых компактов. Группы гомологии компактов определились в терминах циклов Вьеториса. Л. С. Понтрягин [4] ввел прямые и обратные спектры групп, и эти понятия были применены им к изучению групп гомологии компактов. Э. Чех (Е. Cech) стал рассматривать нервы конечных открытых покрытий некомпактных пространств и на этой основе положил начало гомологич. Теории произвольных топологич. Пространств. Позже выяснилось, что рассмотрение исключительно конечных покрытий не оправдано (так как приводит к довольно сложным гомологиям компактификации Стоуна-Чеха). Плодотворность использования произвольных открытых покрытий в теории гомологии и когомологии некомпактных пространств продемонстрировал X.

Даукер [5]. Лит.:[1] Александров П. С., лMath. Ann..