Чжэня Число

- характеристическое число квазикомплексных многообразий. Пусть -произвольный характеристич. Класс. Для замкнутого квазикомплексного многообразия М 2n целое число наз. Числом Чжэня многообразия М 2n, соответствующим классу х, здесь -фундаментальный класс многообразия или ориентация, однозначно определенная квазикомплексной структурой, -касательное расслоение к М. Если в качестве х взять характеристич. Класс с рациональными коэффициентами, то соответствующие ему Ч. Ч. Будут рациональными. Ч. Ч. Х[М 2n]зависит лишь от однородной компоненты степени 2пкласса х. Ч. Ч. Инвариантны относительно квазикомплексного бордизма, следовательно, характеристич. Класс хиндуцирует гомоморфизм Разбиением числа пназ. Набор целых неотрицательных чисел с i+ .

+ ik=n. Если для квазикомплексных многообразий М, N размерности 2п при всех разбиениях w числа п имеет место равенство (см. Чжэня класс), то многообразия Ми Nкобордантны (в квазикомплексном смысле). Пусть А- свободная абелева группа с базисом находящимся во взаимно однозначном соответствии со всеми разбиениями числа n. Приведенная теорема утверждает, что гомоморфизм мономорфен. Ниже дано описание образа гомоморфизма (задача Милнора - Хирцебруха). Другими словами, какие наборы целых чисел заданных для всех разбиений числа п, являются Ч. Ч. Квазикомплексного многообразия. Ч. Ч. Можно определить в произвольной мультипликативной ориентированной теории когомологий h*, только в этом случае Ч. Ч. Квазикомплексного многообразия будет элементом кольца h*(pt).

Для теории когомологий h* определена двойственная ей теория гомологии h*, и так как h* ориентирована и мультипликативна, то для каждого квазикомплексного многообразия Мможет быть однозначно определен фундаментальный класс где Далее, как и в обычной теории, имеется спаривание Если то применение хк относительно этого спаривания обозначается Для характеристич. Класса усо значениями в h* и замкнутого квазикомплексного многообразия Мэлемент наз. Числом Чжэня в теории h*. Предыдущие соображения применимы и к К-теории. Пусть М - квазикомплексное многообразие (возможно, с краем), - произвольный элемент. Тогда целое число может быть вычислено по формуле. где Т-Тодда класс, задаваемый рядом Если многообразие Мзамкнуто, то при получается {1, [M]k}=Т[М].

Характеристич. Число Т[М]наз. Родом Тодда многообразия Ми является целым числом для любого замкнутого квазикомплексного многообразия. Часто Т[М]обозначают Td (M). Касательные многообразия представляют собой один из важных примеров квазикомплексных многообразий. Пусть M-замкнутое действительное многообразие размерности п. Многообразие TN всех касательных векторов к Nимеет естественную структуру квазикомплексного многообразия. i( х, у)=-( у, -х). Пусть на Nвыбрана риманова метрика и через обозначено многообразие с краем, образованное всеми векторами длины, не превосходящей единицы. Если то целое число наз. Топологическим индексом элемента Если есть класс символа эллиптич. Оператора D, заданного на многообразии N, то (теорема Атьи - Зингера), а приведенная выше формула для вычисления числа приводит к когомологич.

Форме теоремы об индексе. Для набора целых неотрицательных чисел и замкнутого квазикомплексного многообразия Мразмерности 2ппусть -Ч. Ч. В K-теории. а -обычное Ч. Ч. Число может быть отлично от нуля лишь тогда, когда - разбиение числа п. Число может быть отлично от нуля при наборах Любой гомоморфизм может быть представлен в виде линейной комбинации с целыми коэффициентами гомоморфизмов при где (теорема Стонга - Хаттори). Характеристич. Числа при мотут быть представлены в виде где -рациональные коэффициенты, а М- любое замкнутое квазикомплексное многообразие размерности 2 п. Пусть а произвольный элемент из группы А, Тогда элемент принадлежит образу гомоморфизма j. тогда и только тогда, когда - целое число для всех наборов Лит.

См. При статье Чжзня класс. А. Ф. Харшиладзе..