Якоби Эллиптические Функции

- эллиптические функции, возникшие при непосредственном обращении эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра. Эта задача обращения была решена в 1827 независимо К. Якоби (С. Jacobi) и, в несколько иной форме, Н. Абелем (N. Abel). Конструкция Якоби основывается на применении тета-функций. Пусть - комплексное число с Тета-функции Якоби представляют собой следующие ряды, абсолютно и равномерно сходящиеся на компактах плоскости комплексного переменного v. Эти ряды достаточно быстро сходятся. Обозначения восходят к К. Вейерштрассу (К. Weierstrass). Вместо часто пишут имеются и другие системы обозначений. Сам К. Якоби применял обозначения. Где Все тета-функции Якоби представляют собой целые трансцендентные функции комплексного переменного v, причем - нечетная функция, а остальные функции четные.

Имеют место следующие соотношения периодичности. из к-рых вытекает, что тета-функции являются эллиптич. Функциями III рода по Эрмиту. Различные тета-функции связаны между собой формулами преобразования. Все четыре тета-функции удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению Важное значение имеют так наз. Нулевые значения тета-функций при этом Между ними имеются следующие соотношения. По отдельности где Функция имеет простые нули в точках - в точках - в точкax - в точках Из соотношений периодичности видно, что нек-рые отношения тета-функции будут эллиптич. Функциями в собственном смысле. Основные эллиптические функции Якоби - snu(синус амплитуды). Сn.(косинус амплитуды )и dnu (дельта амплитуды).

Эти обозначения введены X. Гудерманом (Ch. Gudermann, 1838). Названия происходят от старых обозначений, введенных самим К. Якоби (znи==sin аmu, cnu=cos amu, dnu=amu)и позднее вышедших из употребления. Новое переменное исвязано с . Соотношением u= Если - модуль эллиптических функций, то Я. Э. Ф. Следующим образом выражаются через тета-функции или посредством сходящихся в окрестности начала степенных рядов. Удобные обозначения для обратных величин и отношений были введены Дж. Глейшером(J. Glaisher, 1882). Я. Э. Ф. Snu, сnи, dnu являются эллиптич. Функциями 2-го порядка с периодами. 4K и 2iK' для snu. 4K и 2(K+iK' )для сnи. 2Ки 4iK' для dnu. Здесь K= - значения полных эллиптич. Интегралов I рода, - дополнительный модуль эллиптических функций.

Я. Э. Ф. Имеют только простые полюсы, расположенные в точках 2mK+(2n+1)iK'. Т, Три Я. Э. Ф. Связаны соотношениями. и дифференциальными уравнениями Теоремы сложения дяя Я. Э. Ф. Имеют вид. Связь Я. Э. Ф. С эллиптич. Интегралами выражается в том, что если - эллиптич. Интеграл I рода в нормальной форме Лежандра, то его обращение имеет вид z=snu. В этом и состоял исходный пункт теории Якоби. Переменная есть бесконечнозначная функция от ии наз. Амплитудой эллиптического интеграла u, Основные соотношения между постоянными. В прикладных задачах обычно задан модуль k, причем чаще всего имеет место так наз. Нормальный случай 0<k<1, или задан дополнительный модуль 0<k'<1. Требуется найти К, К', или Полагая при 0<k<l имеем Для определения qполучается быстро сходящийся при ряд Значения полных эллиптич.

Интегралов . И К' определяются по формулам или при помощи таблиц. При k =0 и k =1 Я. Э. Ф. Вырождаются соответственно в тригонометрич. И гиперболич. Функции. В теоретич. Отношении более простое построение теории эллиптич. Функций дано К. Вейерштрассом к 1802-63 (см. Вейерштрасса эллиптические функции ). При заданном модуле k, 0<k <1, инварианты Вейерштрасса e 1, е 2, е 3 вычисляются, напр., по формулам е 1= (2-k 2)/3, е 2=(2k 2-1)/3, е 3=-(1+k 2)/3, и далее g 2= -4(e 1e 2+e 2e 3+e 3e 1), g 3=4e 1e 2e 3. Полупериоды теперь определяются по формулам что и дает возможность вычислить все остальные величины, относящиеся к эллиптич. Функциям Вейерштрасса. Лит.:[1] Jасоbi С., Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Konigsberg, 1829.

Gesammelte Werke, Bd 1, В., 1881. [2] Axиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970. [3] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. С нем., М., 1968. [4] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. С англ 2 изд., ч. 2, М., 1963. [5] Еnnереr A., Elliptische Funktionen. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Halle/Saale, 1890. [6] Tannery J., Molk J., Elements de la theorie des functions elliptigues, t. 1-4, P., 1983-1902. [7] Журавский А. М., (Справочник по эллиптическим функциям, М.- Л., 1941. [8] Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф,, Специальные функции Формулы, графики, таблицы, пер. С нем., 3 изд., М., 1977. Е. Д. Соломенцев.