Математическая индукция
весьма общий способ математических доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на так называемом принципе М. И., являющемся одной из основных математических аксиом. Пусть, например, требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа n формулу. 1 + 3 + 5 + . + (2n - 1) = n2 (1) При n = 1 эта формула даёт 1 = 12. Чтобы доказать правильность формулы при любом n, допускают, что её уже удалось доказать для некоторого определённого числа N, то есть предполагают, что 1 + 3 + 5 + . + (2N - 1) = N2. (2) Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, то есть для n = N + 1. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое.
(2N + 1). Тогда и правая часть равенства должна увеличиться на (2N +1) и, следовательно, 1 + 3 + 5 + . + (2N — 1) + (2N + 1) = N2 + (2N + 1) = (N + 1)2. Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить n на N + 1. Итак, из справедливости формулы (1) при n = N вытекает (каково бы ни было N) её правильность и при n = N + 1. Но при n = 1 формула (1) верна, следовательно, она верна также и при n = 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1 и так далее. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе n. Как ни очевидна заключительная часть приведённого рассуждения, она опирается на некоторую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но выражающую одно из основных свойств натуральных чисел.
Общая формулировка этой аксиомы такова. Принцип М. И. Пусть. 1) число единица обладает свойством А. 2) из того, что какое-либо натуральное число n обладает свойством А, вытекает, что и число n + 1 обладает свойством А. При таких условиях любое натуральное число обладает свойством А. В разобранном выше примере свойство А числа n выражается так. «для числа n справедливо равенство (1)». Если принцип М. И. Принят в качестве аксиомы, то каждое отдельное доказательство, опирающееся на этот принцип, следует рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [например, формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, так как одна из посылок (сам принцип М. И.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.
Принцип М. И., сформулированный выше, служит, как было показано, для доказательства математических теорем. Помимо этого, в математике употребляются ещё так называемые индуктивные определения. Таково, например, следующее определение членов un геометрической прогрессии с первым членом а и знаменателем q. 1) u1 = a, 2) un+1 = unq. Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии un для всех натуральных чисел n. Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на принципе М. И. В данном случае можно, однако, непосредственно получить выражение un через n. Un = aqn-1. Принцип М. И. Можно заменить равносильными ему предложениями, например таким. Если подмножество М множества всех натуральных чисел N содержит 1 и вместе с любым своим элементом m содержит и m + 1, то М = N..
Дополнительный поиск Математическая индукция 
На нашем сайте Вы найдете значение "Математическая индукция" в словаре Большая Советская энциклопедия, подробное описание, примеры использования, словосочетания с выражением Математическая индукция, различные варианты толкований, скрытый смысл.
Первая буква "М". Общая длина 23 символа
