Наибольшие и наименьшие показатели

Способ Н. И наименьших показателей был предложен Ньютоном для разложения переменного у в ряд по убывающим или по возрастающим степеням переменного х в тех случаях, когда х и у связаны уравнением вида f(x,y) = 0. Способ этот, называемый также параллелограммом Ньютона, может иметь широкое применение к теории алгебраических функций, к исследованию особых точек кривых, к теории дифференциальных уравнений и так далее. Пусть данное уравнение будет. Цель рассматриваемого способа заключается в отыскании разложения переменного у по степеням переменного x, т. Е. В нахождении для разложения. Y = Axα + Byβ + Cyγ показателей. Α, β, γ. И коэффициентов. А, В, С. Положим, что требуется найти разложение по восходящим степеням, т. Е. Что.

Α ( β ( γ. Вставив в данное уравнение (1) вместо у величину Axα получим. Если α наименьший показатель в искомом разложении, то (по Ньютону) среди величин. (3). M0 + m0α. M1 + m1α. M2 + m2α. Найдутся по крайней мере две, которые будут равны между собой и меньше остальных величин ряда (3). В силу этого принципа задача о нахождении α сводится к тому, чтобы составить всевозможные равенства из величин ряда (3), приравнивая их одну другой, из полученных уравнений определить различные значения α и из этих значений выбрать такие, которые обращали бы соответственные равные величины ряда (3) в наименьшие. Выбранные таким порядком значения и будут наименьшими показателями разложения. Сколько определится наименьших показателей, столько будет и разложений, удовлетворяющих вопросу.

Для определения коэффициента А, вставим один из найденных наименьших показателей вместо α в уравнение (2) и приравняем нулю сумму коэффициентов тех членов этого уравнения, которые окажутся содержащими одинаковые степени переменного x. Таким образом получим уравнение, из которого определится А. Найдя α и А, полагаем. У = Ахα + y1 Вставляя эту величину переменного у в данное уравнение (1), получим уравнение вида F(x,y1) = 0, с которым поступаем так, как до сих пор поступали с данным уравнением, причем найдем второй член Вхβ искомого разложения. Однако, здесь мы выбираем только тех показателей переменного х в разложении у, которые, удовлетворяя началу наименьших показателей, будут более найденного α. Затем, полагая у1 = Вхβу11 преобразуем уравнение F(y,x1) = 0 в уравнение F1(x,у11) = 0 и продолжаем вычисление для определения Cyγ и дальнейших членов разложения.

Для нахождения таких значений α, при которых некоторые из величин ряда (3) вышли бы равными между собой и меньшими остальных, служит табличка (см. Ниже). Пусть дано уравнение. (1)'. X2y3 — 3x3y2 — 3y2 + xy + x4 + 1 = 0 Вставляя в него вместо у величину Ах, получим. (2)'. A3х3α + 2 — 3A2x2α +3 — A2x2α + Ax α + 1 + 1 = 0 Показатель 2 α + 3 второго члена уравнения (2) не следует принимать в рассмотрение, потому что он при всяких α более показателя 2 α третьего члена. Ряд, соответственный ряду (3) изложенной выше теории, будет. (3)'. 3α + 2. 2α. Α + 1. 0. Найдя всевозможные уравнения, составленные из этих величин, как то. 3α + 2 = 2α. 3α + 2 = α + 1 и проч. И вставляя в ряд (3) определенные из этих уравнений значения α, составляем табличку:----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|  | I | II | III  | IV | V  | VI || Величины ряда (3)' |------------------------------------------------------------------------------------------------||  | = — 2  | α = —1/2  | α = —2/3 | α = + 1 | α = 0 | α = — 1 ||---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|| 3α + 2 | — 4 | + 1/2 | 0 | 5 | 2 | + 1 ||---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|| 2α | — 4 | — 1  | — 4/3 | 2 | 0 | — 2 ||---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|| α + 1 | — 1 | 1/2 | 1/3 | 2 | 1 | 0 ||---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Началу наименьших показателей удовлетворяет только α = — 2 и α = 0, потому что только в 1-м и V-м столбцах мы находим величины, равные между собой и меньшие сравнительно с другими величинами своего столбца.

Именно в 1-м столбце число — 4 стоит против 3α + 2 и против 2α, в V-м столбце число 0 стоит против 2α и против 0. Напр. IV столбец и соответственная ему величина α = + 1 не годятся, потому что, хотя в этом столбце число 2 встречается два раза, но в нем же есть число 0, которое меньше чем 2. Итак, возможны два допущения для первого члена искомого разложения. А1х— 2 и А2х0. Для определения А1 замечаем, что при подстановке — 2 вместо α в уравнение (2)' окажутся равными показатели членов. A3х3α + 2 и A2x2α. Приравнивая сумму их коэффициентов нулю, получим. А3 — А2 = 0, откуда А1 = 1. Точно так же найдем (из подстановки числа 0 вместо α), что А2 = ± 1. Итак, получим три разложения. У = x— 2 +. У = + 1 +. Y = — 1 +. Указанным в приведенной выше теории порядком найдем и остальных членов этих разложений.

Остановимся, напр., на первом разложении. Первый член его мы нашли равным x— 2. Чтобы найти следующий член, полагаем. У = x— 2 + y1. Вставив эту величину у в данное уравнение, получим. X2(x— 2 + y1)3 — (3x3 + 1) (x— 2 + y1)2 + x(x— 2 + y1) + x4 + 1 = 0 поступая с полученным уравнением подобно тому, как поступали с данным, определим В и β и так далее. В получаемом таким путем разложении по восходящим степеням переменного х можно пренебрегать высшими степенями этого переменного, если х небольшая величина. Если же х величина большая, то можно пренебрегать его малыми степенями, а потому в этом случае удобнее стремиться найти разложение у по нисходящим степеням переменного х. В этом случае прибегают к способу Н. Показателей, совершенно сходному со способом показателей наименьших.

Рассматриваемый способ был дан Ньютоном в знаменитом его сочинении. "Methodus fluxionum et serierum infinitarum cum ejusdem applicatione ad curvarum geometriam". Затем этот способ положен основанием изучения алгебраических кривых в сочинении Крамера. "Introduction à l'analyse des lignes courbes algebriques" (1750). Лиувилль применил этот способ к вычислению некоторых симметрических функций. "Jonrnal des Mathématiques pures et appliquées" (т. VI). Пюизе прилагал этот способ к теории алгебраических функции, Бугаев — к теории дифференциальных уравнений. "Математический Сборник" (т. XVI). Геометрическое построение, соответствующее этому способу, изложено в "Аналитической Геометрии" Д. А. Граве. В аналитической форме способ Н.

И наименьших показателей изложен у Serret в его "Cours d'algèbre superieure" (т. II) и у Бугаева в его ст. "Различные приложения начала Н. И наименьших показателей к теории алгебраических функций" ("Матем. Сборник", т. XIV). Н. Д..