Дифференциальное Исчисление

Раздел математики, в к-ром изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств ф-ций. Производной ф-ции у = f(x) наз. Предел отношения приращения дельта y = у1 - y0 ф-ции к приращению дельта х = х1 - х0 аргумента при дельта х, стремящемся к нулю (если этот предел существует) . Производная обозначается f'(x) или у'. Т.о., у'= lim дельта у/ дельта х при дельта х->0. Дифференциалом ф-ции y = f(x) наз. Выражение dy = y'dx, где dx = дельта x - приращение аргумента х. Очевидно, что у' = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f'(x) имеет, в свою очередь, производную, то её наз. 2-й производной ф-ции f(x) и обозначают f"(x), и т.

Д. Осн. Понятия Д. И. Могут быть распространены на случай ф-ций нескольких переменных. Если z = f(x, у) - ф-ция двух переменных х и у, то, зафиксировав для у к.-л. Значение, можно дифференцировать z по х. Полученная производная dz/дх = f'x наз. Частной производной z по х. Аналогично определяются частная производная dz/dy = fy, частные производные высш. Порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений Д. И. К геометрии важно, что т. Н. Угловой коэф. Касательной, т. Е. Тангенс угла а (см. Рис.) между осью Ох и касательной к кривой y = f(x) в точке M(х0, у0), равен значению производной при х = хо, т. Е. F'(xo). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Д. И. (как и интегральное исчисление) имеет многочисл.

Применения. ..