Асимптотический Степенной Ряд

асимптотический ряд по последовательности или по последовательности (см. Асимптотическое разложение функции). А. С. Р. Можно складывать, перемножать, делить и интегрировать точно так же, как и сходящиеся степенные ряды. Пусть функции и имеют при асимптотич. Разложения. Тогда ( вычисляются по тем же правилам, что и для сходящихся степенных рядов). 4) если функция непрерывна при , то 5) А. С. Р. Не всегда можно дифференцировать, однако, если имеет непрерывную производную, к-рая разлагается в А. С. Р., то Примеры А. С. Р. где - Ганкеля функция нулевого порядка (приведенные А. С. Р. Расходятся при всех х). Аналогичные утверждения имеют место и для функций комплексного переменного при в окрестности бесконечно удаленной точки или внутри угла.

В случае комплексного переменного утверждение 5) имеет следующий вид. Если функция регулярна в области и если равномерно по при в любом замкнутом угле, содержащемся в D, то равномерно по при в любом замкнутом угле, содержащемся в D. Лит.:(1) Копсон Э. Т., Асимптотические разложения, пер. С англ., М., 1966. (2) Эрдейи А., Асимптотические разложения, пер. С англ., М., 1962. (3) Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. П., Курс современного анализа, пер. С англ., 2 изд., т. 1, М., 1962. М. И. Шабунин.