Асимптотическое Разложение

функции - такой ряд что при любом целом при - нек-рая заданная асимптотическая последовательность при В этом случае пишется также Если ясно, о какой последовательности идет речь, то в (2) она не указывается. Разложение (2) наз. Асимптотическим разложением в смысле Эрдейи [2]. Разложение вида где - постоянные, наз. Асимптотическим разложением в смысле Пуанкаре. При данной асимптотич. Последовательности функций А. Р. (3), в отличие от ее разложения (2), однозначно определяется самой функцией . Если (1) имеет место для конечного числа значений , то говорят об А. Р. С точностью до . Ряды наз. Асимптотическими рядами. Как правило, такие ряды расходятся. Наиболее употребительны асимптотические степенные ряды;соответствующие им А.

Р. Являются А. Р. В смысле Пуанкаре. Пример А. Р. В смысле Эрдейи. Понятия А. Р. Функции и асимптотический ряд были введены А. Пуанкаре (см. [1]) в связи с задачами небесной механики. Частные случаи А. Р. Были открыты ц применялись еще в 18 в. (см. [2]). Асимптотич. Разложения и ряды играют большую роль в различных задачах математики, механики н физики. Это вызвано тем, что многие задачи нельзя решить точно, но удается получить асимптотич. Разложения решений. Кроме того, численные методы часто отказывают именно в тех случаях, когда А. Р. Удается сравнительно просто найти. Лит.:[1] Н., "Ada Math.", 1886, v. 8, p. 2)5- 344. Г2] Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. С англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963. [3] Erdelyi A., Wyman M., "Arch.

Ration. Mech. And Analysis", 1963, v. 14, p. 217-60. М. В. Федорюк.