Аффинное Алгебраическое Множество

, аффинное алгебраическое -множество,- множество решений нек-рой системы алгеб-раич. Уравнений. Пусть поле и - его алгебраич. Замыкание. Подмножество Xдекартова произведения наз. Аффинным алгебраическим множеством, если его точки являются общими нулями нек-рого семейства S многочленов кольца. Множество всех многочленов из обращающихся в нуль на , образует идеал, к-рый наз. Идеалом аффинного алгебраического -множества. Идеал совпадает с радикалом идеала , порожденного семейством S, т. Е. С множеством таких многочленов для иек-рого натурального т. А. А. М. Xи Yсовпадают тогда и только тогда, когда А. А. М. Xможет быть задано системой образующих идеала В частности, всякое А. А. М. Может быть задано конечным числом многочленов Равенства наз.

Уравнениями А. А. М. X. А. А. М. Пространства образуют решетку относительно операций пересечения и объединения. При этом идеал пересечения совпадает с суммой идеалов , а идеал объединения - с пересечением идеалов . Все множество является А. А. М., к-рое наз. Аффинным пространством над полем kи обозначается ему соответствует нулевой идеал. Пустое подмножество множества тоже есть А. А. М. С единичным идеалом. Факторкольцо наз. Координатным кольцом А. А. М. X. Оно отождествляется с кольцом k-регулярных функций на X, т. Е. С кольцом -значных функций f . для к-рых существует такой многочлен что для всех . А. А. М. Xназ. Неприводимым, если оно не является объединением двух собственных аффинных алгебраич. Подмножеств. Эквивалентное определение состоит в том, что идеал должен быть простым.

Неприводимые А. А. М. Вместе с проективными алгебраич. Множествами являлись объектами классической алгебраич. Геометрии. Они наз. Соответственно аффинными алгебраическими многообразиями и проективными алгебраическими многообразиями над полем k(или k-многообразиями). А. А. М. Наделяются структурой топологич. Пространства. Замкнутыми множествами этой топологии ( Зариского топологии).являются неприводимые аффинные алгебраич. Подмножества. А. А. М. Неприводимо тогда и только тогда, когда оно неприводимо как топологич. Пространство. Дальнейшее развитие понятия А. А. М. Приводит к понятиям аффинного многообразия и аффинной схемы. Лит.:[1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. С англ., т. 2, М., 1963. [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.

И. В. Долгачев, В. А. Исковских.