Банахово Пространство

В-пространство,- полное нормированное векторное пространство. Исходными для создания теории Б. П. Послужили введенные (в 1904-18) Д. Гильбертом (D. Hilbert), М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функциональные пространства. Именно в этих пространствах были первоначально исследованы фундаментальные понятия сильной и слабой сходимости, компактности, линейного функционала, линейного оператора и др. Б. П. Названы по имени С. Банаха, к-рый в 1922 (см. [1]) начал систематич. Изучение этих пространств на основе введенной им аксиоматики и получил глубокие результаты. Теория Б. П. Развивалась параллельно с общей теорией линейных топологических пространств. Эти теории взаимно обогащались идеями и фактами. Так, идея полунормы, заимствованная из теории нормированных пространств, стала необходимым инструментом для построения теории локально выпуклых линейных топологич.

Пространств. Понятие слабой сходимости элементов и линейных функционалов в Б. П. Обрело законченную форму в понятии слабой топологии. Теория Б. П. Представляет собой хорошо разработанную область функционального анализа, имеющую (непосредственно или через теорию операторов) многочисленные применения в различных разделах математики. Проблематика Б. П. Складывается из нескольких направлений. Геометрия единичной сферы, геометрия подпространств, линейно топологич. Классификация, ряды и последовательности в Б. П., наилучшие приближения в Б. П., функции со значениями в Б. П. И др. Относительно теории операторов в Б. П. Следует отметить, что многие ее предложения имеют непосредственное отношение к геометрии и топологии Б. П. Примеры. Встречающиеся в математич.

Анализе Б. П.- это чаще всего множества функций или числовых последовательностей, подчиненные нек-рым условиям. 1) , ,- пространство числовых последовательностей , для к-рых с нормой 2) т - пространство ограниченных числовых последовательностей с нормой 3) с - пространство сходящихся числовых последовательностей с нормой 4) с 0 - пространство сходящихся к нулю числовых последовательностей с нормой 5) - пространство непрерывных на функций с нормой 6) - пространство непрерывных функций на компакте с нормой 7) - пространство функций, имеющих непрерывные производные до порядка пвключительно, с нормой 8) - пространство всех непрерывно дифференцируемых до порядка пфункций, определенных в т- мерном кубе, с равномерной нормой по всем производным порядка не выше п.

9) - пространство ограниченных измеримых функций с нормой 10) - пространство функций, аналитических в открытом единичном круге Dи непрерывных в замкнутом круге , с нормой 11) - пространство функций на множестве S с вполне аддитивной мерой m и с нормой 12) - частный случай пространства - пространство измеримых по Лебегу функций, суммируемых со степенью р, с нормой 13) АР - пространство Бора почти периодич. Функций с нормой Пространства сепарабельны. Пространства несепарабельны. сепарабельно в том и только в том случае, если К - метрический компакт. Подпространство YБ. П., рассматриваемое отдельно от вмещающего пространства X, есть Б. П. Факторо-пространство нормированного пространства по подпространству Yстановится нормированным пространством, если норму определить так.

Пусть - класс смежности. Тогда Если X - Б. П., то X/Y- тоже Б. П. Множество всех линейных функционалов, определенных в нормированном пространстве X, с нормой наз. Пространством, сопряженным с .X, и обозначается . Оно является Б. П. Для Б. П. Справедлива Хана - Банаха теорема о продолжении линейных функционалов. Если линейный функционал определен на подпространстве Yнормированного пространства X, то его можно распространить с сохранением линейности и непрерывности на все пространство X. Более того, при этом можно обеспечить сохранение нормы расширенного функционала. Справедливо и более общее утверждение. Пусть действительная функция р (х), определенная в линейном пространстве, удовлетворяет условиям.

и пусть - действительный линейный функционал, определенный на подпространстве и такой, что Тогда существует линейный функционал , определенный на всем Xи такой, что Следствием теоремы Хана - Банаха является "обратная" -формула, связывающая нормы . причем max в этой формуле достигается на нек-ром Другое важное следствие - наличие достаточного множества непрерывных линейных функционалов. Говорят, что в Б. П. Xсуществует достаточно много непрерывных линейных функционалов, если для любых имеется такой определенный на Xлинейный функционал f, что Для многих конкретных Б. П. Известен общий вид линейного функционала. Так, в каждый линейный функционал определяется по формуле. где , а каждая функция определяет по этой формуле линейный функционал f, причем Таким образом, пространством, сопряженным с является линейные функционалы задаются той же формулой, но в этом случае так что Пространство сопряженное с наз.

Вторым сопряженным. Аналогично определяются третье, четвертое и т. Д. Сопряженные пространства. Каждый элемент из Xможет быть отождествив снек-рым линейным функционалом, определенным на При этом Тогда можно считать Xподпространством пространства Если при указанном вложении Б. П. Совпадает со своим вторым сопряженным, то оно наз. Рефлексивным. В этом случае все включения оказываются равенствами. Если же Xне рефлексивно, то среди включений нет ни одного равенства. Если факторпространство имеет конечную размерность и, то наз. Квазирефлексивным порядка п. Квазирефлексивные пространства существуют для любого п. Критерии рефлексивности Б. П. 1) X рефлексивно тогда и только тогда, когда для каждого найдется на к-ром достигается sup в формуле 2) В рефлексивных Б.

П., и только в них, каждое ограниченное множество компактно относительно слабой сходимости. Любая его бесконечная часть содержит слабо сходящуюся подпоследовательность (теорема Эберлейна- Шмульяна). Пространства и рефлексивны. Пространства нерефлексивны. Б. П. Наз. Слабо полным, если в нем каждая слабо сходящаяся в себе последовательность слабо сходится к элементу пространства. Каждое рефлексивное пространство слабо полно. Кроме того, слабо полны Б. П. Еще более широкий класс - Б. П., не содержащие подпространств, изоморфных с 0. Эти пространства во многом подобны слабо полным. Б. П. Наз. Строго нормированным, если его единичная сфера Sне содержит отрезков. Для количественной оценки выпуклости единичного шара вводятся модули выпуклости.

Локальный модуль выпуклости и равномерный модуль выпуклости Если для всех и всех , то Б. П. Наз. Локально равномерно выпуклым. Если , то пространство наз. Равномерно выпуклым. Каждое равномерно выпуклое Б. П. Локально равномерно выпукло. Каждое локально равномерно выпуклое Б. П. Строго нормировано. В конечномерных Б. П. Верны и обратные включения. Если Б. П. Равномерно выпукло, то оно рефлексивно. Б. П. Наз. Гладким, если для любых линейно независимых элементов функция дифференцируема при всех t. Б. П. Наз. Равномерно гладким, если для его модуля гладкости выполняется условие В равномерно гладких Б. П., и только в них, норма равномерно дифференцируема по Фреше. Равномерно гладкое Б. П. Гладко. Обратное верно, если Б. П. Конечномерно, Б.

П. Xравномерно выпукло (равномерно гладко) в том и только в том случае, если равномерно гладко (равномерно выпукло). Между модулем выпуклости Б. П. Xи модулем гладкости существует связь Если Б. П. Равномерно выпукло (равномерно гладко), то таковы любое его подпространство и факторпростран-ство. Б. П. Равномерно выпуклы и равномерно гладки, причем , Б. П. не являются строго нормированными и не являются гладкими. В Б. П. Справедливы следующие важные теоремы для линейных операторов. Теорема Банаха- Штейнхауз а. Если семейство линейных операторов ограничено в каждой точке. то оно ограничено по норме. Теорема Банаха об обратном операторе. Если линейный непрерывный оператор отображает взаимно однозначно Б. П. Xна Б.

П. Y, то обратный оператор тоже непрерывен. Теорема о замкнутом графике. Если замкнутый линейный оператор отображает Б. П. Xв Б. П. Y, то он непрерывен. Изометрия Б. П. Сравнительно редкое явление. Клас-сич. Пример - Б. П. Б. П. Изометричны в том и только в том случае, если гомеоморфны (теорема Банаха.- Стоуна). Для изоморфных Б. П. Мерой близости служит число где Тпробегает всевозможные операторы, осуществляющие изоморфизм между Если Xизометрично Y, то Однако существуют и не изометричные пространства, для к-рых их наз. Почти изометричными. Свойства Б. П., сохраняющиеся при изоморфизме, наз. Линейно топологическими. К ним относятся сепарабельность, рефлексивность, слабая полнота. Изоморфная классификация Б. П. Содержит, в частности, следующие утверждения.

если К - метрич. Компакт мощности континуума. Каждое сепарабельное Б. П. Изоморфно локально равномерно выпуклому. Неизвестно (1977), каждое ли Б. П. Изоморфно своей гиперплоскости. Существует Б. П., не изоморфное строго нормированному. Отвлекаясь от линейной природы нормированных пространств, можно рассматривать их топология, классификацию. Два пространства гомеоморфны, если между их элементами может быть установлено взаимно однозначное и взаимно непрерывное (не обязательно линейное) соответствие. Неполное нормированное пространство не гомеоморфно никакому Б. П. Все бесконечномерные сепарабельные Б. П. Гомеоморфны. Универсальными (см. Универсальное пространство).в классе сепарабельных Б. П. Являются С[0, 1] и A(D). В классе рефлексивных сепарабельных Б.

П. Нет даже изоморфно универсального. Б. П. L1 универсально в несколько ином смысле. Каждое сепарабельное Б. П. Изометрично нек-рому его факторпространству. В каждом из перечисленных выше Б. П., кроме L2 и l2, существуют подпространства без дополнения. В частности, в ти Мне дополняемо каждое бесконечномерное сепарабельное подпространство, в С[0, 1] не дополняемо каждое бесконечномерное рефлексивное подпространство. Если в Б. П. Все подпространства дополняемы, то оно изоморфно гильбертову пространству. Неизвестно (1977), каждое ли Б. П, есть прямая сумма каких-то двух бесконечномерных подпространств. Подпространство Yдополняемо в том и только в том случае, если существует проектор, отображающий Xна Y. Относительной проекционной константой подпространства Yв Xназ.

Нижняя грань норм проекторов на Y. Каждое n-мер-ное подпространство Б. П. Дополняемо и Абсолютной проекционной константой Б. П. наз. // .