Бергмана Кернфункция

функция комплексных переменных, обладающая свойством воспроизводящего ядра и определяемая для любой области , в к-рой существуют голоморфные функции f не тождественные 0, принадлежащие классу по мере Лебега Введена С. Бергманом [1]. Множество указанных функций образует гильбертово пространство с ортонормированным базисом , где - пространство голоморфных функций. Функция наз. Б. К. (или просто кернфункцией) области D. Ряд справа равномерно сходится на компактных подмножествах и принадлежит при каждом фиксированном , его сумма не зависит от выбора орто-нормированного базиса . Б. К. Зависит от комплексных переменных и определена в области . Она обладает свойством симметрии , голоморфна по переменным z и антиголоморфна по .

Если , , то где Основным свойством Б. К. Является ее воспроизводящее свойство. Для любой функции и любой точки справедливо интегральное представление Экстремальные свойства Б. К. 1) Для любой точки 2) Пусть точка такова, что в классе имеются функции с условием . Тогда функция удовлетворяет этому условию и имеет норму , минимальную для всех таких f. Функция наз. Экстремальной функцией области D. Изменение Б. К. При биголоморфных отображениях выражается в следующей теореме. Если - биголоморфное отображение области на область , , , то где - якобиан обратного отображения. Благодаря этому свойству эрмитова квадратичная форма инвариантна относительно биголоморфных отображений. Функция , к-рую также наз.

Кернфунк-цией, играет значительную роль во внутренней геометрии областей. В общем случае она неотрицательная, а функция плюрисубгармоническая. В областях , для к-рых положительная (напр., в ограниченных областях), функции и строго плюрисубгармонические. Последнее эквивалентно тому, что в таких областях указанная форма положительно определена и, следовательно, задает в эрмитову риманову метрику. Эта метрика не меняется при биголоморфных отображениях и наз. Метрикой Бергмана. Ее можно рассматривать как частный случай Кэлера метрики. Из экстремального свойства 1) следует, что коэффициенты метрики Бергмана неограниченно возрастают при подходе к нек-рым граничным точкам. Если - строго псевдовыпуклая область или аналитич.

Олиэдр, то неограниченно возрастает при любом подходе z к границе области D. Всякая область, обладающая этим свойством Б. К., является областью голоморфности. Для простейших областей Б. К. Вычисляется в явном виде. Напр., Б. К. Для шара В. В имеет вид. для поликруга . В частном случае, когда и область есть круг на комплексной плоскости , метрика Бергмана обращается в классическую гиперболич. Метрику инвариантную относительно конформных отображений и определяющую в геометрию Лобачевского. Лит.:[l] Bergman S., The kernel function and conformal mapping, N. Y., 1950. [2] Фукс Б. А., Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1963. [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969, ч.

2, гл. 4. Е. М. Чирка.