Бергмана - Вейля Представление

Бергмана- Вейля формула, Вейля формула,- интегральное представление голоморфных функций, полученное А. Вейлем и С. Бергманом (см.[1], [2]) и определяемое следующим образом. Пусть - область голоморфности в , функции голоморфны в и Тогда любую функцию голоморфную в и непрерывную в в любой точке , можно представить формулой где суммирование производится по всем а интегрирование - по соответствующим образом ориентированным -мерным поверхностям образующим остов области (см. Аналитический полиэдр), а функции голоморфны в области и определяются в соответствии с Xефера теоремой (см. [3], с. 245) из равенств Интегральное представление (*) наз. Представлением Бергмана- Вейля. Области V, фигурирующие в Б.- В.

П., наз. Областями Вейля. Обычно для них требуется дополнительное условие, чтобы ранги матриц , на соответствующих множествах были максимальными для всех (такие области Вейля наз. Регулярными). Области Вейля в Б.- В. П. Можно заменить аналитическими полиэдрами где - ограниченные области с кусочно гладкими границами на плоскости . Б,- В. П. Определяет значение голоморфной функции внутри аналитич. Олиэдра по значениям на его остове . При размерность строго меньше размерности . При аналитич. Олиэдры вырождаются в области с кусочно гладкими границами, остов и граница совпадают, а если еще и , то Б.- В. П. Совпадает с интегральной формулой Коши. Важным свойством Б,- В. П. Является голоморфность (по ) его ядра.

Поэтому если вместо голоморфной функции поставить произвольную интегрируемую на а функцию, то правая часть Б.- В. П. Даст функцию, голоморфную всюду в и почти всюду в . Такие функции наз. Интегралами типа Бергмана- Вейля. Если голоморфна в и непрерывна в , то ее интеграл типа Бергмана - Вейля равен нулю почти всюду в Из В.- В. П. В области Вейля после замены получается разложение Вейля в ряд по функциям, голоморфным в области D, и этот ряд сходится равномерно на компактных подмножествах V. Лит.:[1] WеilA., "Math. Ann.", 1935, Bd 111,8.178-82. [2] Bergman S., "Матем., сб.", 1936, т. 1, с. 242-57. [3] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.