Бернулли Многочлены

многочлены вида где Bs- Бернулли числа. Так, для n=0, 1, 2, 3 Б. М. Можно вычислять по рекуррентной формуле Для натурального Б. М. Впервые рассматривались Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) в связи с вычислением суммы При произвольном хБ. М. Впервые изучал Л. Эйлер (L. Euler) (см. [1], с. 300). Термин "Б. М." ввел И. Л. Раабе (J. L. Raabe, 1851). Основное свойство. Б. М. Удовлетворяют разностному уравнению и поэтому играют в исчислении конечных разностей ту же роль, что и степенные функции в дифференциальном исчислении. Б. М. Принадлежат к классу Аппеля многочленов, т. Е. Удовлетворяют условию. и тесно связаны с Эйлера многочленами. Производящая функция Б. М. Имеет вид. Для Б. М. Справедливо разложение в Фурье ряд для п=1 и для Б.

М. Удовлетворяют соотношениям. (теорема умножения), (теорема, дополнения), (теорема сложения аргументов). Б. М. Используются для выражения остаточного члена Эйлера - Маклорена формулы суммирования и для разложения функций в ряды. Из свойств Б. М. Выва-дятся многие важные свойства чисел Бернулли. Б. М. Используются для интегрального представления дифференцируемых периодпч. Функций . и играют важную роль в теории приближения таких функций тригонометрия, полиномами и др. Агрегатами, см. Фавара задача. Известны различного рода обобщения Б. М. Н. Э. Нёрлундом введены обобщенные Б. М. Порядка v и степени п. (нек-рые частные случаи этих многочленов рассматривались ранее В. Г. Имшенецким, Н. Я. Сониным и Д. М. Синцовым). Пусть и тогда последовательно определяются как полиномиальные решения степени празностного уравнения где (обобщенные числа Бернулли) находятся из рекуррентного соотношения Лит.

[1] Эйлер Л., Дифференциальное исчисление, пер. С лат., М.-Л., 1949. [2] Nоr1und N. Е., Vorlesungen uber Differenzenrechnung, В., 1924. [3]Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. С англ., М., 1965. [4] Лихин В. В., в сб. Историко-математические исследования, в. 12, М., 1959, с. 59-134. Ю. Н. Субботин.