Бернштейн А Неравенство

- 1) Б. Н. В теории вероятностей -. Уточнение классического Чебышева неравенства, принадлежащее С. Н. Бернштейну (1911, см. [1]). Позволяет заменить степенную оценку вероятности больших отклонений на экспоненциально убывающую, см. Больших отклонений вероятности. Именно, если для независимых случайных величин с выполняется (, - постоянная, не зависящая от ), то для суммы справедливо Б. Н. где Для одинаково распределенных ограниченных случайных величин и неравенство (1) приооретает наиболее простои вид. где А. Н. Колмогоровым была получена нижняя оценка вероятности в (1). Оценки Бернштейна- Колмогорова используются, в частности, при доказательстве повторного логарифма закона. Нек-рое представление о точности (2) можно получить из сравнения с приближенным значением для левой части (2), даваемым Центральной предельной теоремой в виде где .

После 1967 одномерные Б. Н. Были распространены на многомерный и бесконечномерный случаи. Лит.-[1] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946. [2] Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1929, Bd 101, S. 126-35. [3] Hoeffding W. "J. Amer. Statist. Assoc.", 1963, v. 58, № 301, p. 13-30. [4] Прохоров Ю. В., "Теория вероят. И ее примен.", 1968, т. 13, в. 2, с. 266-74. [5] Прохоров А. В., "Матем. Заметки", 1968, т. 3, в. 6, с. 731-9. [6] Юринский В. В., "Теория вероят. И ее примен.", 1970, т. 15, в. 1, с. 106-7. А. В. Прохоров. 2) В. Н. Для производной от тригонометрич. Полинома или алгебраич. Многочлена, дающее оценку этой производной через наибольшее значение самого полинома (многочлена). Если - тригонометрич. Полином порядка не выше п, то для любого хвыполняются неравенства (см.

[1]). Оценка неулучшаема. Ибо число М= 1 для . и Б. Н. Для тригонометрич. Полиномов является частным случаем следующей теоремы [1]. Если - целая функция степени и то Б. Н. Для алгебраич. Многочленов имеет следующий смысл [1]. Если многочлен удовлетворяет условию то для его производной выполняется соотношение к-рое является неулучшаемым. Как заметил сам С. Н. Бернштейн (см. [1], с. 20), последнее неравенство в сущности вытекает из доказательства Маркова неравенства самим А. А. Марковым. Б. Н. Существенно используются при получении обратных теорем теории приближения функций. Имеется ряд обобщений Б. Н., в частности для целых функций многих переменных. Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Собр. Соч., т. 1, М., 1952, с.

13-42, 269-70. [2] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969. Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный, .