Бертрана Признак

сходимости числовых рядов с положительными членами. Если и существует предел (конечный лли бесконечный) то при ряд сходится, а при - расходится. Установлен Ж. Бертраном (J. Bertrand). Лит.:[1] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, 7 изд., М., 1970. Л. Д. Кудрявцев. ВЕСКОАЛИЦИОННАЯ ИГРА - система где - множество игроков, - множество стратегий -то игрока, - функция выигрыша -го игрока, определенная на декартовом произведении Б. И. Разыгрывается следующим образом. Игроки, действуя изолированно (не вступая в коалиции), выбирают свои стратегии , в результате чего складывается ситуация , в к-рой игрок получает выигрыш . Основным принципом оптимальности в Б.

И. Является принцип осуществимости цели (см. [1]), приводящий к ситуациям равновесия по Нэшу. Ситуация наз. Ситуацией равновесия, если для всех справедливо неравенство где . Таким образом, в одностороннем нарушении договора между игроками, соответствующего ситуации равновесия, не заинтересован ни один из игроков. Было доказано (теорема Н э ш а), что конечная Б. И. (множества конечны) обладает ситуацией равновесия в смешанных стратегиях. Имеются обобщения этой теоремы на бесконечные Б. И. С конечным числом игроков (см. [3]) и на Б. И. С бесконечным числом игроков (см. Неатомическая игра). Ситуации равновесия наз. Взаимозаменяемыми, если любая ситуация где или также равновесна. Они наз. Эквивалентными, если для всех Пусть - множество всех ситуаций равновесия, - множество ситуаций равновесия, оптимальных по Парето (см.

Арбитражная схема). Игра наз. Разрешимой в смысле Н э ш а, а наз. Решением по Нэшу, если все эквивалентны и взаимозаменяемы. Игра наз. Строго разрешимой, если не пусто и все эквивалентны и взаимозаменяемы. Антагонистические игры, обладающие оптимальными стратегиями, разрешимы в смысле Нэша и строго разрешимы. Однако в общем случае такая разрешимость возможна далеко не всегда. Имеются другие попытки дополнения принципа осуществимости цели. Так, было предложено (см. [4]) решением Б. И. Считать единственную ситуацию равновесия или максиминную ситуацию (выигрыши в последней ситуации каждый из игроков может себе гарантировсть независимо от выбора стратегий остальными игроками), выбор к-рой основан на введении нового отношения предпочтения на множестве ситуаций.

Иным подходом к определению решения Б. И. Является предположение о субъективном прогнозе поведения игроков (см. [5]). Лит. [1] Воробьев Н. Н., "Успехи матем. Наук", 1970, т. 25, № 2 (152), с. 81-140. [2] Нэш Д ж., в сб. Матричные игры, М., 1961, с. 205-21. [3] Гликсберг И. Л., в сб. Бесконечные антагонистические игры, М., 1963, с. 497- 503. [4] Наrsanуi J. С., в кн. Advances in game theory, Princeton (N. Y.), 1964, p. 651-79. [5] Вилкас Э. И., "Теория вероят. И ее примен.", 1968, т. 13, в. 3, с. 555-6.1. Э. И. Вилкас, Е. Б. Яновская.