Булева Алгебра

булева решетк а,- частично упорядоченное множество специального вида. Б. А. Наз. Дистрибутивная решетка (дистрибутивная структура), имеющая наибольший элемент 1 - единицу Б. А., наименьший элемент 0 - нуль Б. А. И содержащая вместе с каждым своим элементом хего дополнение - элемент , удовлетворяющий соотношениям Операции обозначаются обычно знаками и , а иногда , чем подчеркивается их сходство с теоретико-множественными операциями объединения и пересечения. Вместо иногда пишут Дополнение всякого элемента в Б. А. Единственно. Б. А. Может определяться и иначе, а именно, как непустое множество с операциями удовлетворяющими аксиомам. При таком подходе упорядочение не предполагается заранее заданным, а вводится условием.

тогда и только тогда, когда . Возможны и другие аксиоматики. В аксиомах Б. А. Отражена аналогия между понятиями "множества", "события", "высказывания". Отношение порядка в Б. А. Может быть (в зависимости от выбора интерпретации) истолковано как теоретико-множественное включение, как причинное следование для событий, как логич. Следование для высказываний и т. Д. Кроме основных операций в Б. А. Могут быть определены и другие, среди к-рых особенно важна операция симметрической разности. (пишут также ). Всякая Б. А. Есть булево кольцо с единицей относительно операций ("сложение") и ("умножение"). Любое булево кольцо с единицей можно рассматривать как Б. А. Б. А. Возникли в трудах Дж. Буля [1], [2] как аппарат символич. Логики.

В последующем они нашли широкое применение в различных разделах математики - в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и др. В основе приложений Б. А. К логике лежит интерпретация элементов Б. А. Как высказываний (см. Алгебра логики). При этом дополнение истолковывается как отрицание высказывания х, а операции и - как конъюнкция и дизъюнкция. К логике близка и другая область применения Б. А.- теория контактных схем. Б. А. Используются при обосновании теории вероятностей. Поле событий, изучаемое в теории вероятностей, есть Б. А. При этом неравенство означает, что событие хвлечет событие у;соответственно с этим истолковываются нуль Б. А., единица Б. А. Ибулевы операции Пример Б. А.- упорядоченная по включению система всех подмножеств к.-л.

Фиксированного множества Q. Такая Б. А. Обозначается . Ее нулем служит пустое множество, единицей - само множество Q. Дополнение элемента есть множество . Булевы операции и совпадают соответственно с объединением и пересечением. Вместо подмножеств множества удобно рассматривать их характеристич. Функции. Система всех таких функций при естественном упорядочении оказывается Б. А., изоморфной Б. А. Операции , истолковываются в такой Б. А. Следующим образом. Особенно важны случаи. 1) Аарактеристич. Функции подмножеств в данном случае суть "двоичные символы" вида Их число равно . При получается двухэлементная Б. А., состоящая только из нуля и единицы. 2) В этом случае элементами будут всевозможные функции, заданные на системе всех двоичных символов длины пи принимающие только значения 0 и 1.

Их наз. булевыми функциями от пцеременных. Всякая правильно построенная формула логики высказываний определяет нек-рую булеву функцию, причем совпадение функций означает эквивалентность формул. При нек-рых условиях множество Еэлементов Б. А. Xсамо оказывается Б. А. Относительно индуцированного из X порядка. Так будет, в частности, в следующих случаях. а) Е - главный идеал, т. Е. Множество вида . Роль единицы здесь играет элемент и. б) Е - подалгебра Б. А. X. Это означает, что из следует . Нулем и единицей новой Б. А. Служат нуль и единица исходной Б. А. Особенно важны подалгебры Б. А. Их наз. Алгебрами множеств. Всякое множество порождает нек-рую подалгебру - наименьшую подалгебру, содержащую Е. Среди отображений Б. А. Особую роль играют гомоморфизмы Б.

А., то есть отображения, перестановочные с булевыми операциями. Биективный гомоморфизм Б. А. Является изоморфизмом Б. А. Если Б. А. А' порождена множеством Е, то для того чтобы всякое отображение множества Ев произвольную Б. .