Гиперэллиптическии Интеграл

частный случай абелееа интеграла где - рациональная функция от переменных связанных алгебраич. Уравнением частного вида здесь Р(z) - многочлен степени без кратных корней. При получаются эллиптические интегралы, случай иногда наз. Ультраэллиптическим. Уравнению (2) соответствует двулистная компактная рнманова поверхность Fрода если - четно, и рода если - нечетно. Таким образом, в случае Г. И. На функции а следовательно и , однозначны. Интеграл (1), рассматриваемый Как определенный, задается на Fкак криволинейный интеграл от аналитич. Функции, взятый вдоль нек-рого спрямляемого пути L, причем, вообще говоря, задание только начальной и конечной точек пути L не вполне определяет значение интеграла (1).

Как и в общем случае абелевых интегралов, любой Г. И. Можно выразить в виде линейной комбинации элементарных функций и канонических Г. И. I, II, III родов, имеющих свой специфич. Вид. Так, нормальные Г. И. I рода являются линейными комбинациями Г. И. I рода вида где - простейший базис абелевых дифференциалов 1 рода для случая гиперэллиптич. Поверхности F. Явные выражения для абелевых дифференциалов II и III родов и для соответствующих Г. И. Также легко выписываются (см. [2]). В основных чертах теория Г. И. Совпадает с общей теорией абелевых интегралов. Все рациональные функции от образуют гиперэллннтическое поле алгеб-раич. Функций, соответствующее данному уравнению (2) и имеющее род g. Всякая компактная риманова поверхность рода g= 1 или g= 2 допускает эллиптическое или гиперэллиптич.

Поле, соответственно. Однако уже при g=3 существуют компактные римановы поверхности Fболее сложной структуры, не обладающие этим свойством. Лит.:[1] Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. С англ., М., I960, гл. 10. [2] Неванлинна Р., Униформизация, пер. С нем., М., 1955, гл. 5. [3] Neumann К., Vorlesungen uber Riemanns Theorie der Abeischen Integrate, Lpz., 1884. Е. Д. Соломенцев.