Главное Однородное Пространство

- главный G-объект в категории алгебраич. Многообразий или схем. Если S - схема, а Г - схема групп над S, то главный G-объект в категории схем над Г наз. Г. О. П. Над S. В случае, когда S - спектр поля kи Г - алгебраическая k-группа, Г. О. П. Над Г есть алгебраическое k-многообразие V, на к-ром Г действует (слева), и при замене k на его сепарабельное алгебранч. Замыкание каждая точка определяет изоморфное отображение многообразий и . Г. О. П. Vтривиально тогда и только тогда, когда V(k).не пусто. Множество классов, изоморфных Г. О. П., над гладкой алгебранч. Группой Г может быть отождествлено с множеством Галуа когомологий(k, Г). В общем случае множество классов Г. О. П. Над S-схемой групп Г совпадает с множеством одномерных неабелевых когомологий где - некоторая топология Гротендика на схеме S[2].

В ряде случаев Г. О. П. Вычислено. Если k - конечное поле, то каждое Г. О. П. Над связной алгебраической k-группой является тривиальным (теорема Ленга). Это же утверждение верно, если k - поле р-адических чисел, а Г - односвязная и полупростая группа (теорема Кнезера). Если - мультипликативная S-схема групп, то множество классов Г. О. П. Над Г совпадает с Пикара группой схемы S. В частности, если S - спектр поля, то эта группа тривиальна. Если - аддитивная S- схема групп, то множество классов Г. О. П. Над Г совпадает с группой одномерных когомологий структурного пучка схемы S. В частности, это множество тривиально, если S - аффинная схема. В случае, когда k - глобальное поле (т. Е. Поле алгебраич. Чисел или поле алгебраич. Функций от одного переменного), изучение множества классов Г.

О. П. Над алгебраической k-группой Г основано на исследовании множества Тейта - Шафаревича III (Г), состоящего из Г. О. П. Над Г, имеющих рациональные точки во всех пополнениях относительно нормировании поля k. В случае, когда Г - абелева группа над полем k, множество классов Г. О. П. Над Г образует группу (см. Вейля - Шатле группа). Лит. [1] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа пер с франц М., 1968. [2] Dem azure M., Gabriel P., Groupes algebriques, t. 1, P.-Amst., 1970. [3] Lang S., Tate J "Amer. J. Math.", 1958, v. 80, p. 659 - 84. В. Е. Воскресенский, И. В. Долгачев.