Главных Идеалов Кольцо

ассоциативное кольцо R с единицей, в к-ром все левые п правые идеалы являются главными, т. Е. Имеют вид и , соответственно, где . Примеры Г. И. К. Кольцо целых чисел, кольцо многочленов над полем F, кольцо косых многочленов над полем Fс автоморфизмом (элементы имеют вид сложение этих элементов обычное, а определяется умножение законами дистрибутивности и равенством , где ), кольцо дифференциальных многочленов над полем Fс дифференцированием (это кольцо также состоит из элементов причем сложение обычное, а умножение определяется равенством , где ). Г. И. К. Без делителей нуля наз. Областью главных идеалов. Коммутативное Г. П. К. Является прямой суммой областей главных идеалов п Г. И. К., обладающих единственным простым идеалом, к-рый нильпотентен (см.

[2], с. 282). Если R - область главных идеалов, то два ненулевые элемента а, b кольца R имеют наибольший общий левый делитель ( а, b).и наименьшее общее правое кратное , к-рые определяются как элементы, удовлетворяющие равенствам. Элементы единственны с точностью до обратимого правого множителя. Область главных идеалов является областью с однозначным разложением на множители. Двусторонние идеалы области главных идеалов образуют относительно умножения свободную коммутативную полугруппу с нулем и единицей (свободными порождающими этой полугруппы будут максимальные идеалы кольца). Подмодуль Nсвободного модуля Мконечного ранга пнад Rявляется свободным модулем ранга над R, п в модулях Ми Nможно так выбрать базисы и что где и является полным (т.

Е. ) делителем элементов при . Каждый конечно порожденный модуль Кнад Rявляется прямой суммой циклич. Модулей , , где и - полный делитель при . Эта теорема обобщает основную теорему о конечно порожденных абелевых группах. Элементы из предыдущей теоремы определены однозначно с точностью до подобия (см. Ассоциативные кольца и алгебры). Эти элементы наз. Инвариантными множителями модуля К. Кроме того, модуль K можно представить в виде прямой суммы далее неразложимых цнклич. Модулей где Элементы определены однозначно С точностью до подобия и наз. Элементарными делителями модуля К. Если область Rглавных идеалов коммутативна, то или где - неприводимые (простые) элементы кольца R. Из предыдущих утверждений вытекают обычные свойства элементарных делителей и инвариантных множителей линейных преобразований конечномерных векторных пространств [3].

Лит.:[1] Джекобсон Н., Теория колец, пер. С англ., М., 1947. [2] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. С англ., т. 1, М., 1963. [3] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. О франц., М., 1966. Л. А. Бакуть.