Квадратичные Формы Поверхности

- общее наименование квадратичных форм от дифференциалов координат на поверхности, инвариантных при преобразованиях этих координат. К. Ф. П. Характеризуют основные внутренние свойства поверхности и ее расположение в пространстве в окрестности данной точки. Обычно выделяют так наз. Первую, вторую и третью основные квадратичные формы. Первая квадратичная форма поверхности характеризует внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Это означает, что с ее помощью можно производить измерения на поверхности. Пусть поверхность задана уравнением. где ии v- координаты на поверхности. - дифференциал радиус-вектора r( и, v )вдоль выбранного направления смещения из точки Мв бесконечно близкую точку М' (см.

Рис. 1). Главная линейная часть приращения длины дуги ММ' выражается квадратом дифференциала dr. и наз. Первой основной К. Ф. П. См. Также Первая квадратичная форма поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности характеризует локальную структуру поверхности в окрестности обыкновенной точки. Именно, пусть - единичный вектор нормали к поверхности в точке М, где e=+ 1, если тройка векторов - правой ориентации, и e=-1 - в противоположном случае. Удвоенная главная линейная часть 2d отклонения точки М' (см. Рис. 2) поверхности от касательной плоскости в ее точке Мравна II = 2d = (- dr, dn)= L( и, v)du2+2М(u,v)dudv + N(u, v) dv2, где L=(ruu, n), M=(ruv, n), N=(rvv, n). Форма II наз. Второй основной К. Ф. П. См. Также Вторая квадратичная форма поверхности.

Первая и вторая К. Ф. П. Обладают двумя важными совместными скалярными инвариантами относительно преобразования координат на поверхности. Именно, отношение дискриминантов этих форм равно гауссовой кривизне поверхности в точке. а выражение определяет среднюю кривизну поверхности в точке. Задание первой (положительно определенной) и второй К. Ф. П. Определяет поверхность с точностью до движения (Бонне теорема). Третья квадратичная форма поверхности представляет собой квадрат дифференциала единичного вектора пнормали к поверхности в точке М(см. Рис. 3 . III = dn2 = nu2du2 +2nunvdudv+nv2dv2. Третья К. Ф. П. Равна главной линейной части приращения угла между векторами пи n' при смещении поповерхности из точки Мв точку М'.

Она является первой К. Ф. П. сферического изображения поверхности. Три основные К. Ф. П. Связаны линейной зависимостью. Кроме перечисленных выше иногда рассматривают и другие К. Ф. П. (см., напр., [3]). Лит.:[1] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1, М.- Л., 1947. [2] Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956. [3] Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963. А. Б. Иванов..