Квадратичный Дифференциал

на римановой поверхности R - правило, которое каждому локальному параметру z, отображающему параметрич. Окрестность в замкнутую комплексную плоскость ставит в соответствие функцию Qz :такую, что для всяких локальных параметров z1 :и z2 :с непустым пересечением в последнем выполнено соотношение здесь z(U)- образ Uв при отображении z. К. Д. Часто обозначается символом Q(z)dz2, к-рому приписывается указанная инвариантность относительно выбора локального параметра z. Иначе говоря, К. Д.- это нелинейный дифференциал типа (2,0) на римановой поверхности. Функции входящие в определение К. Д., обычно предполагаются измеримыми или даже аналитическими. В последнем случае К. Д. Наз. Аналитическим. Точка наз. Нулем или полюсом порядка кдифференциала Q(z)dz2, если для каждого локального параметра z функция имеет в рсоответственно нуль или полюс порядка k.

Нули и полюсы К. Д. Наз. Его критическими точками. Нули и простые полюсы наз. Конечными критич. Точками, и их совокупность обозначают С. Множество всех полюсов порядка обозначают Н. Если кривая имеет в каждой своей точке qотносительно локального параметра zкасательную с направляющим вектором az(q). И то К. Д. Q(z)dz2 наз. Положительным и пишут Q(z)dz2>0 на кривой у. Если в (2) вместо знака >. Имеет место знак <, то К. Д. Q(z)dz2 отрицателен (Q(z)dz2<0) на кривой у. Всякая максимальная на Rрегулярная кривая, на к-рой Q(z)dz2>0 (либо Q(z)dz2<0), наз. Траекторией дифференциала Q(z)dz2 (соответственно ортогональной траекторией). К. Д. Q(z)dz2, определенный на конечной римановой поверхности Л, принадлежит R, если край дR поверхности Rлибо пуст, либо состоит из конечного числа точек и дуг у, на каждой из к-рых дифференциал Q(z)dz2 регулярен и положителен пли отрицателен.

Если к тому же край dR пуст или если дифференциал Q(z)dz2 на dR регулярен и положителен, то Q(z)dz2 наз. Положительным К. Д. На R. Метрика называемая Q-м етрикой, однозначна на й и инвариантна относительно выбора локального параметра z. В нек-рой окрестности Uлюбой точки функция регулярна, однозначна и однолистна при каждом выборе знака подинтегрального выражения, причем всякая максимальная дуга траектории (или ортогональной траектории) из Uпри отображении Z(д)переходит в горизонтальный (соответственно вертикальный) прямолинейный интервал. Поэтому через каждую точку проходит траектория, являющаяся либо открытой дугой, либо жордановой кривой на R. Топологическая и конформная структуры семейства траекторий в малой окрестности всякой критпч.

Точки rполиостью классифицированы в зависимости от порядка критич. Точки rи (если r- полюс 2-го порядка и z(r) = 0) от (см. Локальная структура траекторий). Описание глобальной структуры траекторий известно для конечных римановых поверхностей п имеет много важных приложений (см. Также [1]). О. Тайхмюллер (О. Teichmiiller) исследовал роль понятия К. Д. Для теории экстремальных конформных и квазиконформных отображений и для решения проблемы модулей римановых поверхностей (см. [1] - [3]). Он сформулировал принцип, согласно к-рому экстремальным задачам геометрич. Теории функций ставятся в соответствие нек-рые К. Д., причем каждому типу экстремальных задач соответствуют определенные особенности (полюсы) К. Д., а геометрич.

Свойства решения связаны надлежащим образом со структурой траекторий К. Д. В терминах К. Д. Доказаны неравенства для коэффициентов однолистных функций. Общее неравенство для коэффициентов, однолистных функций в семействах областей, расположенных на конечной римановой поверхности, носит название рбщей теоремы о коэффициентах и является конкретным воплощением принципа Тайхмюллера для широкого класса задач (см. [1], [4]). Принцип Тайхмюллера позволил также установить специальную теорему о коэффициентах и решить большое число конкретных экстремальных задач (см. [1], [5]). Лит.:[1] Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. С англ., М., 1962. [2] Шиффер М., Спенсер Д. К., Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер.

С англ., М., 1957. [3] Альфорс Л., Берс Л., Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения, пер. С англ., М., 1961. [4] Тамразов П. М., "Матем. Сб.", 1967, т. 72, № 1, с. 59-71. [5] Jenkins J. A., "III. J.Math.", 1964, v. 8, № 1, p. 80 - 99. П. М. Тамразов..