Квазирешение

- обобщенное решение некорректных задач, к-рое (при достаточно общих условиях), в отличие от истинного решения, удовлетворяет условиям корректности по Адамару. Пусть X, Y- метрические пространства, М- множество из X. Квазирешением уравнения на множестве Мпри заданном y из У наз. Элемент хиз М, минимизирующий уклонение r( Ах, у )при хиз М. Если уравнение (1) имеет на Мистинное решение х 0, то х 0 будет также и К. Зависимость множества К. От уудобно представить как суперпозицию двух отображений где А -1- обращение (вообще - многозначное) отображения А, а Р- оператор метрич. Проектирования в пространстве Yна множество N=AM. Такая суперпозиция позволяет свести исследование свойств К. К исследованию отображений А -1 и Р.

Напр., если множество N- чебышевское, а отображение А -1- однозначно и непрерывно на N, то задача нахождения К. Является корректной. Если Рили А -1 многозначны, то устойчивость множества Кформулируется в терминах Р-непрерывности (непрерывности функций от множеств). Обычно в качестве Xи Y берутся линейные нормированные пространства, что позволяет получить наиболее полные и законченные результаты. Так, задача нахождения К. Корректна, если У - строго выпукло, А- линейный непрерывный обратимый оператор, М- выпуклый компакт. Имеется ряд других комбинаций условий, обеспечивающих корректность задачи нахождения К., в к-рых одни условия усиливаются, другие ослабляются (напр., А- линейный замкнутый оператор, но У - гильбертово).

Существует ряд способов задания множества М, обеспечивающих возможность эффективного нахождения К. Один из наиболее распространенных способов состоит в следующем. Рассматривается третье пространство Z(все или нек-рые из пространств X, Y, Z могут совпадать) и линейный оператор В:такой, что В -1- неограничен. За множество М=М r принимается образ шара. В такой форме задача нахождения К. Является задачей математич. Программирования. Минимизировать функционал при ограничении Для гильбертовых Yи Zполучается задача квадратичного программирования. В случаях корректности К. Важное значение для приложений имеют оценки устойчивости, в к-рых дается зависимость При приведенном выше способе задания множества Мустойчивость К.

Характеризуется функцией. Имеет место соотношение где w(t, r) есть решение экстремальной задачи w(t, r)= sup ||Bz|| при Для гильбертовых Zи Y имеются выражения для w(t, r) в замкнутой форме. Лит.:[1] Иванов В. К., "Докл. АН СССР", 1962, т. 145, № 2, с. 270-72. [2] его же, "Матем. Сб.", 1963, т. 61, Ms 2, с. 211-23. [3] Лисковец О. А., "Дифференциальные уравнения", 1971, т. 7, Mi 9, с. 1707-09. [4] Морозов В. А., в сб. Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 11, М., 1973, с. 129-78. [5] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Методы решения некорректных задач, М., 1974. [6] Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И., Вычислительные методы высшей математики, т. 1-2, Минск, 1972-75. В. К. Иванов..