Клеточное Разбиение

CW - комплекс,- клеточный комплекс X, удовлетворяющий следующим условиям. (С) Для любой точки комплекс X(х)является конечным, т. Е. Состоит из конечного числа клеток (для произвольного подмножества А клеточного комплекса Xчерез X(А)обозначается пересечение всех подкомплексов комплекса X, содержащих множество A).(W) Если F- нек-рое множество клеточного комплекса X, и для любой клетки tиз клеточного комплекса Xпересечение замкнуто в (а следовательно и в X), то Fявляется замкнутым подмножеством в X. При этом каждая точка принадлежит некоторой определенной клетке tx из клеточного комплекса X, и выполняется равенство Обозначение CW получено из первых букв англ. Названий вышеприведенных двух условий. (С) - Closure finiteness (конечность замыкания) и (W) - Weak topology (слабая топология).

Конечный клеточный комплекс Xудовлетворяет обоим условиям (С) и (W). Вообще, клеточный комплекс X, в к-ром каждая точка хсодержится в нек-ром конечном подкомплексе Y(х), есть К. Р. Пусть для нек-рого множества Fиз Xмножество замкнуто в при любом выборе клетки ( из I. Тогда для любой точки множество замкнуто в X. Если теперь точка хне принадлежит множеству F, то открытое множество содержит точку хи не пересекается с F. Множество - открыто, а множество F- замкнуто. Класс К. Р. (или класс пространств, каждое из к-рых имеет гомотопический тип К. Р.) является наиболее подходящим классом топологич. Пространств для построения содержательной теории гомотопии. Так. Если подмножество АК. Р. Xзамкнуто, то отображение f топологич.

Пространства Ав топологич. Пространство У непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны ограничения отображения f на замыкания клеток комплекса X. Если С- компактное подмножество К. Р. X, то комплекс X(С)конечный. Для любой клетки tиз К. Р. Xсуществует множество D, открытое в к-рое допускает в качестве деформационного ретракта множество Практически К. Р. Строятся последовательно. Каждая стадия состоит в приклеивании клеток данной размерности к результату предшествующей стадии. Клеточная структура такого комплекса находится в прямой связи с его гомотопич. Свойствами. Даже для таких "хороших" пространств, как полиэдры, полезно рассматривать их представление в виде К. Р. В таком представлении они обычно имеют меньше клеток, чем при симплициальной триангуляции.

Если пространство Xполучено приклеиванием n-мерных клеток к пространству А, то подмножество где I=[0, 1] является сильным деформационным ретрактом пространства Относительным К. Р. Наз. Пара (X, А), состоящая из топологич. Пространства Xи его замкнутого подпространства А, а также такой последовательности замкнутых подпространств (X, А)k,что выполняются следующие условия. А) пространство (X, А)o получено из Априклеиванием нульмерных клеток. б) при пространство (X, А)k получается приклеиванием k-мерных клеток к пространству (X, А)k-1, в) пространство X=U(X, A)k. Г) топология пространства Xсогласована с семейством {(X, А)k}. Пространство (X, A)k наз. K-м ерным остовом пространства Xотносительно А. При относительное К.

Р. есть К. Р. В прежнем смысле, его k- мерный остов - Х k. Примеры. 1) Пара ( К, L )симплициальных комплексов Ки L,определяет относительное К. Р. (|К|, |L|), где (|К|, |L|)k=(KkUL).2) Шар Vn есть К. P. (Vn)k=p0 при k<n-i,(Vn)n-1=Sn-1 и(V)k при Сфера Sn-1 есть подразбиение этого К. Р. Vn.3) Если пара (X, А )есть относительное К. Р., то - также К. Р., и =(( Х, А)k01)(( Х, А)k-1I).4) Если (X, А )есть относительное К. Р.,то Х/А есть К. Р., при этом (X/А)k=( Х, А)k /А, где X/А -факторпространство пространства X, полученное отождествлением всех точек множества Ас одной точкой. Лит.:[1] Телеман К., Элементы топологии и дифференцируемые многообразия, пер. С рум., М., 1967. [2] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. С англ., М., 1971.

[3] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. С англ., М., 1976. Д. О. Баладзе..