Колмогорова Неравенство

- 1) К. Н. В теории приближений - мультипликативное неравенство между нормами в пространствах LS(J)функций и их производных на действительной оси (или полуоси). I где а С не зависит от х. Впервые такие неравенства изучали Г. Харди (G. Hardy, 1912), Дж. Литлвуд (J. Littlewood, 1912), Э. Ландау (Е. Landau, 1913), Ж. Адамар (J. Hadamard, 1914). А. Н. Колмогоров [1] нашел наименьшую константу Сдля наиболее важного случая и любых k, п. К. Н. Связаны с задачей наилучшего численного дифференцирования и устойчивого вычисления (неограниченного) оператора Dk k -кратного дифференцирования. Именно, модуль непрерывности оператора Dk на классе выражается формулой w(d)= w(1)8, т. Е. Имеет место К. Н. С константой С=w(1). К. Н.- частный случай неравенств, связанных с вложением классов дифференцируемых функций (см.

Вложения теоремы). Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Ученые зап. Моск. Ун-га, математика", 1939, в. 30, кн. 3, с. 3-16. [2] Стечкин С. Б., "Матем. Заметки", 1967, т. 1, в. 2, с. 137-48. [3] Тайков Л. В., "Матем. Заметки", 1968, т. 4, в. 2, с. 233- 238. [4] Арестов В. B.,"Acta Sei. Math.", 1972, v. 33, p. 243-67. Ю. Н. Субботин. 2) К. Н. В теории вероятностей - неравенство для максимума сумм независимых случайных величин - обобщение классического Чебышева неравенства. Пусть Х 1} Х 2,..., Х п, ...- независимые случайные величины с конечными математич. Ожиданиями и дисперсиями Тогда для любого е>0 и если величины ограничены (| Х i|<с с вероятностью 1), то К. Н. Установлено А. Н. Колмогоровым [1]. К. Н. Замечательно как доказательством - способ рассуждений был новым в теории вероятностей, так и самим результатом - оценка для максимума сумм такова же, что и для последней суммы в неравенстве Чебышева.

При доказательстве К. Н. Существенно используются вытекающие из взаимной независимости Xk свойства условных математич. Ожиданий функций от сумм Sk+p при условии, что Х 1, . .., Xk фиксированы. К. Н. Допускает многочисленные обобщения, из которых можно отметить следующие. 1) К. Н. Остается справедливым, если условие взаимной независимости величин Х п заменить условием, что {Xn} есть абсолютно беспристрастная последовательность, т. Е. Что последовательность сумм Sn= образует мартингал. 2) Если -выпуклая монотонная функция, Еg(|Sn|)<беск., то 3) Если Х k, k=1,. ., п, симметричны относительно начала координат, то см. Леей неравенство. 4) Для произвольных независимых случайных величин Х 1, Х 2,. ., Х n, . если только числа d>0 и 0<р<1 выбраны так, что при всех т, Во всех вариантах К.

Н. Можно увидеть следующее свойство сумм независимых величин - "размах" максимальной суммы имеет тот же порядок, что и "размах" последней суммы. Как неравенство Чебышева применяется при выводе больших чисел закона, так и К. Н. Применяется при доказательстве больших чисел усиленного закона (критерий Колмогорова сходимости Sn/n->Q почти всюду). На использовании К. Н. Основано доказательство теорем о сходимости рядов из случайных величин. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1928, Bd 99, S. 309 - 19. 1929, Bd 102, S. 484-88. [2] eго же. Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974. [3] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. С англ., М., 1962. А. В. Прохоров..