Колмогорова Уравнение

- уравнение вида (обратное, или первое, уравнение. S <. T)или вида (прямое, или второе, уравнение. T >. S) для переходной функции [f=P(s, х. T, Г), - измеримое пространство] или ее плотности [f=p(s, x. T, Г), если она существует], к уравнению (1) для переходной функции P(s, x. T, Г) присоединяется условие а к уравнению (2) - условие где I Г (х) - индикатор множества Г. В этом случае оператор As- оператор, действующий в пространстве функций, а - в пространстве обобщенных мер. Для марковских процессов со счетным множеством состояний переходная функция полностью определяется вероятностями перехода pij(s, t) = P{s, i. T,{j}) (из состояния iв момент s в состояние j в момент t), для к-рой обратное и прямое уравнения Колмогорова имеют (при некоторых дополнительных предположениях) следующий вид.

где В случае конечного числа состояний уравнения (3), (4) справедливы, если только предположить существование пределов в (5). Другой важный класс процессов, для к-рых детально изучен вопрос о справедливости уравнений (1) и (2), - это процессы диффузионного типа, определяемые тем, что их переходная функция Р(s, x. T, Г), удовлетворяет следующим условиям. а) для всякого и s>0 равномерно по s,s<t, б) существуют функции a(s, x )и b(s, x )такие, что для всякого хи e>0 равномерно по s,s<t, Тогда, если существует плотность p=p(s, x. T, у), то (при некоторых дополнительных предположениях) справедливо (по t>s и ) прямое уравнение (называемое также уравнением Фоккера - Планка), а обратное уравнение (по s<t и ) имеет следующий вид Лит.:[1] Колмогоров А.

Н., "Успехи матем. Наук", 1938, в. 5, с. 5-41. [2] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973. А. Н. Ширяев..