Комплексификация Группы Ли

G над R - комплексная группа Ли G С, содержащая Gв качестве вещественной подгруппы Ли и такая, что алгебра Ли группы Gявляется вещественной формой алгебры Ли группы (см. Комплексификация ал гебра Ли). Группа Gпри этом наз. Вещественной формой группы Ли G С. Напр., группа U(п)всех унитарных матриц порядка пявляется вещественной формой группы GL ( п, С) всех невырожденных матриц порядка пс комплексными элементами. Имеется взаимно однозначное соответствие между комплексно аналитическими линейными представлениями связной односвязной комплексной группы Ли и вещественно аналитич. Редставлениями ее связной вещественной формы G, при к-ром неприводимым представлениям соответствуют неприводимые. Это соответствие устанавливается следующим образом.

Если р - (неприводимое) конечномерное комплексно аналитическое представление группы GC, то ограничение р на Gявляется (неприводимым) вещественно аналитич. Редставлением группы G. Не всякая вещественная группа Ли обладает комплексификацией. В частности, связная полупростая группа Ли Gобладает комплексификацией тогда и только тогда, когда Gлинейна, т. Е. Изоморфна подгруппе некоторой группы GL(n, С). Например, универсальная накрывающая группы вещественных матриц второго порядка с определителем 1 не имеет комплексификации. Однако всякая компактная группа Ли комплексификацией обладает. Отсутствие комплексификации у нек-рых вещественных групп Ли инспирировало введение более общего понятия - универсальной комплексификации вещественной группы Ли G.

Здесь - комплексная группа Ли, т :- вещественно аналитич. Омоморфизм такой, что для любой комплексной группы Ли Hи любого вещественно аналитич. Омоморфизма существует единственный комплексно аналитич. Омоморфизм для к-рого Универсальная К. Г. Ли всегда существует и определена однозначно [3]. Однозначность означает, что если - другая универсальная К. Г. Ли G, то существует единственный изоморфизм для к-рого В общем случае если же Gодносвязна, то =и ядро гомоморфизма т дискретно. См. Также Форма группы Ли. Лит.:[1] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976. [2] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970. [3] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер.

С франц., М., 1976. В. Л. Попов..