Комплексная Структура

1) К. С. На действительном векторном пространстве V- структура комплексного векторного пространства на V, согласованная с исходной структурой. К. С. На V полностью определяется заданием оператора умножения на число i, роль к-рого может играть произвольное линейное преобразование I :удовлетворяющее условию I2=-Е. Поэтому преобразование такого типа часто паз. К. С. На V. Если Vснабжено К. С. И v1, . ., vn- базис этого пространства над С, то v1, ..., vn, Iv1,..., Ivn образуют его базис над R, так что Если I - К. С. На V, то комплексификация Vпространства Vраспадается в прямую сумму где - собственные подпространства преобразования I, продолженного на отвечающие собственным значениям причем V- = V+. Обратно, всякое комплексное подпространство такое, что определяет на VК.

С, для к-рой Любые две К. С. На 2n-мерном действительном пространстве Vпереводятся друг в друга нек-рым автоморфизмом пространства V. Множество всех К. С. На Vявляется, таким образом, однородным пространством группы GL(2n, R )и отождествляется с факторпространством GL(2n, R)/H, где - подгруппа, состоящая из невырожденных матриц вида 2) К. С.- структура комплексного аналитического многообразия. Если М- дифференцируемое многообразие, то К. С. На М- это комплексный аналитич. Атлас на М, согласованный с заданным на Мдействительным дифференцируемым атласом. При этом = К. С. На Миндуцирует К. С. На каждом касательном пространстве Т x (М)и тем самым индуцирует на М почти комплексную структуру, к-рая ее полностью определяет.

Лит.:[1] Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономий, пер. С франц., М., 1960. [2] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. С англ., М., 1976. А. Л. Онищик..