Комплексного Интегрирования Метод

контурного интегрирования метод,- один из наиболее универсальных методов исследования и приложений дзета-функций, L-функций, вообще, функций, определяемых рядами Дирихле. К. И. М. В теорию чисел впервые ввел Б. Риман (В. Riemann) [1] в 1876 в связи с изучением свойств дзета-функции. Известные в настоящее время применения К. И. М., опирающиеся на теорему Коши о вычетах, теорему Фрагмена - Линделёфа для рядов Дирихле, метод перевала и т. П., весьма разнообразны по своей форме и содержанию. К. И. М. Используется для аналитич. Родолжения и вывода функциональных уравнений функций Дирихле. Для вывода приближенных функциональных уравнений этих функций. Для оценок числа их нетривиальных нулей и оценок плотности распределения таких нулей в той или иной части критической полосы.

Для получения асимптотич. Формул и разного рода оценок важнейших арифметич. Функций. Классический вариант К. И. М. Иллюстрируется нижеследующим примером аналитич. Родолжения и вывода функционального уравнения дзета-функции Римана (см. [2], [3]). При s=s+it,s>0, п>0 После суммирования получается, что функция z(s), первоначально определенная рядом при s>1, представляется также формулой Пусть рассматривается интеграл взятый вдоль (бесконечного) контура С=a+b+g, где а, упроходят по нижнему и верхнему краям разреза вдоль отрицательной действительной оси плоскости z, обходя начало координат по окружности р 4 радиуса r<2p. Интеграл J(s)сходится при всех s и притом равномерно в любом круге |s|<D, ибо на a и g подинтегральная функция меньше e-0.5|z| для всех |х|>z0(D).

По теореме Коши он не зависит от r и, значит, представляет целую функцию s. Полагая, что на a,b, gсоответственно z=de-ip, z=reiq, z=deip и f(z)= 1/(ez-1), легко расписать J(s)в виде интегралов по действительным переменным. В круге |z|<p будет |zf(z)|<A. Поэтому второе слагаемое правой части этого равенства меньше, чем 2p Аrs-1 еp|t|, что для любого фиксированного sс s>1 стремится к нулю при Следовательно, в силу формулы (1), pJ(s) = sinpsГ(s)z(s)и Эта формула, доказанная в предположении s>1, дает продолжение функции z(s) на всю плоскость. Из нее видно, что z(s)является однозначной аналитич. Функцией во всей плоскости s, имеющей единственной особенностью простой полюс в точке s= 1 с вычетом 1.

Для вывода функционального уравнения z(s)предполагается, что s<0, N- целое >4. Пусть где С(N)- контур, отличающийся от прежнего контура замыканием а, удугой окружности радиуса R = 2N+1 с центром в начале координат. Интеграл по внешней дуге контура С(N)оценивается в виде ARsep|t| что при s<0 стремится к нулю при Отсюда,при С другой стороны по теореме о вычетах Поэтому при s<0 Это равенство в соединении с формулой (2) дает соотношение. к-рое по теории аналитич. Родолжения имеет место уже во всей плоскости s и наз. Функциональным уравнением дзета-функции Римана. К. И. М. Играет большую роль в получении приближенных функциональных уравнений, к-рые лежат в основе современных оценок функций Дирихле (см.

[4],[5]). К. И. М. Является основным в исследованиях распределения нулей функций z(s), L(s,c)и др. До недавнего времени здесь он применялся в форме известных теоремы Литлвуда о числе нулей в прямоугольнике регулярной при s>О функции F(s)и теоремы Баклунда об arg F(s), а также теорем о выпуклости средних значений аналитич. Функций (см. [2]). В 1969 X. Монтгомери (G. Montgomerie) [6] нашел новый прямой и более сильный путь использования К. П. М. Для этих целей. К. И. М. В приложениях к теории чисел естественно возникает в связи с формулой суммирования коэффициентов рядов Дирихле (см. [2], [7]). Лит.:[1] Риман Б., Сочинения, пер. С нем., М.- Л., 1948. [2] Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. С англ., М., 1953. [3] Прахар К., Распределение простых чисел, пер.

С нем., М., 1967. [4] Лаврик А. Ф., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1967, т. 31, № 2, с. 431 - 42. [5] его же, "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1968, т. 32, № 1, с. 134-185. [6] Монтгомери X., Мультипликативная теория чисел, пер. С англ., М., 1974. [7] Карацуба А. А., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1972, т. 36, № 3, с. 475 - 83. А. Ф. Лаврик..