Конформно-дифференциальная Геометрия

- раздел конформной геометрии, в котором геометрические образы, инвариантные при конформных преобразованиях, изучаются методами анализа бесконечно малых, в первую очередь дифференциального исчисления. В конформной плоскости M2 каждая точка и круг определяются вектором x(x1, х 2, х 3, x4), где х;,i=1,2, 3,4 - тетрациклические координаты. Для точки для круга (xx)>0. К.-д. Г. Плоскости изучает последовательности и конгруэнции кругов. Последовательности кругов соответствует в трехмерном гиперболич. Пространстве кривая, конгруэнции кругов - поверхность. Последовательность задается параметрич. Уравнением x=x(t). Параметр tможно специализировать, взяв в качестве него da- угол между двумя бесконечно близкими кругами последовательности.

Особое значение в теории последовательностей имеют две ветви огибающей этой последовательности v=v(t)и их соприкасающиеся круги. Как и в обычной дифференциальной геометрии кривых можно записать деривационные формулы для последовательности кругов, разложив производные векторов x,по ним самим. Можно получить два инварианта b=-2cc и g=c'/c. Инвариант bвыражается через угол j между соприкаcающимися кругами огибающей. B=l/sin2j/2. Теория кривых конформной плоскости строится на основе теории последовательности кругов. Каждая кривая рассматривается как огибающая. Последовательности, у к-рой инвариант Если при этом инвариант bпостоянный, то кривая оказывается изогональной траекторией пучка кругов, т. Е. Локсодромой.

В трехмерном конформном пространстве М 3 уравнение x=х(t)задает последовательность сфер. При ее изучении важную роль играет ее огибающая поверхность, так наз. Каналовая поверхность. Каждая последовательность сфер характеризуется тремя инвариантами, выражающимися через нек-рые углы, связанные со сферами последовательности. Конгруэнция кругов в М 2 задается уравнением x=х( и 1, и 2). На поверхности, соответствующей ей в пшерболич. Пространстве, удобно ввести полярную нормализацию, приняв за нормаль 1-го рода прямую, ортогональную касательной плоскости поверхности в точке х, а за нормаль 2-го рода- поляру нормали 1 рода относительно абсолюта К(см. [3]). В М 3 нормализации поверхности соответствует нормализация конгруэнции.

Каждому кругу x. Конгруэнции ставится в соответствие круг x. Ортогональный кругу x. И всякому бесконечно близкому кругу, и два круга yi, определяющие пучок кругов, сопряженный пучку В соответствии с инвариантами поверхности в пшерболич. Пространстве на М 2 определяются инварианты конгруэнции кругов, выделяются специальные виды конгруэнции. В теории поверхностей М 3 вводится оснащение поверхности с помощью нормализующих кругов, ортогональных в каждой точке всем касательным сферам поверхности. Связывается с каждой точкой конформный репер, состоящий из точки поверхности х, двух координатных сфер уi,i=l, 2, определяющих нормализующий круг, касательной в точке ос сферы zи точки X' пересечения этой сферы и нормализующего круга.

В общей теории нормализации поверхностей используется изоморфизм теории нормализованных поверхностей конформного пространства и теории внутренних полярных нормализации абсолюта гиперболпч. Пространства. Внутренняя геометрия нормализованной поверхности М п есть геометрия Вейля, основной тензор к-рой совпадает с тензором угловой метрики поверхности, а дополнительный тензор есть нормализатор, определяющий опорные координатные сферы. Результаты, полученные для нормализованной поверхности, справедливы и для нормализованного конформного пространства. Лит.:[1] Dаrbоuх G., Lecons sur la theorie generale des surfaus, pt. 1-4, P., 1887-96. 2 "d., pt. 1- 2, P., 1914 - 26. [2] Вlasсhk e W., Vorlesungen uber Differentialgeometrie, Bd 3, В., 1929.

[3] Норией А. П., Пространства аффинной связности, 2 изд., М. 1976. [4] Бушманова Г. В., Норден А. П., Элементы конформной геометрии, Казань, 1972. Г. В. Бушманова..