Коши - Ковалевской Теорема

теорема, утверждающая существование (единственного) аналитич. Решения задачи Коши в малом, если функции, задающие дифференциальное уравнение или систему этих уравнений и все начальные данные вместе с их нехарактеристическим носителем, являются аналитическими. Для системы kдифференциальных уравнений с частными производными с kнеизвестными функциями К. - К. Т. Формулируется следующим образом. Задача Коши где - носитель начальных данных всегда имеет и притом единственное аналитич. Решение и( х, х 0). В нек-рой области W пространства переменных х 0,х, содержащей если являются аналитич. Функциями всех своих аргументов. Пусть дана линейная система дифференциальных уравнений вида где - вектор с неотрицательными, целочисленными координатами.

- порядок дифференциального оператора - заданная квадратная матрица порядка , - искомый вектор-столбец. В(х).- заданный вектор с Nкомпонентами. Вообще говоря, К.- К. Т. Не исключает существования неаналитических, помимо аналитического, решений задачи Коши. Однако для линейной системы дифференциальных уравнений (3) с аналитич. Оэффициентами и условиями Коши на аналитической нехаракте-ристич. Поверхности задача Коши имеет не более одного решения в нек-рой окрестности поверхности s.При этом не предполагается аналитичность начальных данных и решения и(х]. Решение задачи Коши (1), (2), существование к-рого гарантируется К.- К. Т., может оказаться неустойчивым (т. К. Малое изменение начальных данных jij(x).

Может вызвать сильное изменение решения), напр., в том случае, когда система (1) принадлежит эллиптич. Типу. При неаналитических начальных данных задача Коши (1), (2) может потерять смысл, если не ограничиться случаем, когда система (1) является гиперболической. К.- К. Т. Для широкого класса уравнений обобщена на случай, когда начальное многообразие является характеристическим в каждой точке (см. [1], [2]). В этом случае начальные функции не могут быть заданы произвольно. Они должны удовлетворять определенным условиям, к-рые диктуются дифференциальным уравнением. Характеристическая задача Коши может иметь неединственное решение. В частности, имеет место следующее утверждение. Пусть Р( х, D) - дифференциальный оператор порядка тс главной частью и с вещественными аналитич.

Оэффициентами, определенный в окрестности W точки х 0 из евклидова пространства - вещественная аналитическая в W функция такая, что но для некоторого j при х=х 0. Тогда существует такая окрестность точки х 0 и аналитическая при функция и(х).из класса что Р( х, b) и=0 и . Если начальное многообразие является характеристическим вдоль нек-рых кривых, то, вообще говоря, решение характеристич. Задачи Коши многозначно в нек-рой окрестности начальной поверхности и степень ветвления определяется геометрич. Природой соответствующих характеристич. Поверхностей. Теорема доказана С. В. Ковалевской (1875). Лит.:[1] Б е р с Л., Джон Ф., Ш е х т е р М., Уравнения с частными производными, пер. С англ., М., 1966. [2] Б и ц а д з е А.

В., Уравнения математической физики, М., 1976. 13] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971. [4] К у р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. С англ., М., 1964. [5] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. С англ., М., 1965. А. М. Нахушев.