Коши Интеграл

- 1) К. И. - определенный интеграл от непрерывной функции одного действительного переменного. Пусть функция f(x).непрерывна на отрезке наз. Определенным интегралом по К о ш и от функции f(x) на отрезке [ а, b]и обозначают К. И. - частный случай Римана интеграла. Определение дано О. Конш в [1]. Лит.:[1] С а u с h у A. L., Resume des lecons donnees ft l'Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitesimal, t. 1, P., 1823. Л. Д. Кудрявцев. 2) К. И. - интеграл с ядром Коши выражающий значения регулярной аналитич. Функции f(z) внутри контура Lчерез ее значения на L. Точнее, пусть f(z) - регулярная аналитич. Функция комплексного переменного z в области Dи L - замкнутая кусочно гладкая жорданова кривая, расположенная в Dвместе со своей внутренностью G, причем обход Lсовершается против часовой стрелки.

Тогда справедлива основная в теории аналитич. Функций одного комплексного переменного интегральная формула Коши. Стоящий справа в формуле (1) интеграл и наз. Интегралом Коши. Впервые, по-видимому, К. И., применительно к частным ситуациям, появляется в работах О. Коши [1]. К. И. Характеризуется, таким образом, двумя условиями. 1) К. И. Берется по замкнутой гладкой или хотя бы кусочно гладкой кривой L;2) подинтегральная функция К. И. Имеет вид где а f(z) - регулярная аналитич. Функция на Lи внутри Л. Если в К. И. Т. Е. Если z расположена во внешности кривой L, то при сохранении условий 1) и 2). В частности, если L - окружность радиуса р с центром z, т. Е. то из (1) следует т. Е. Значение f(z) в любой точке равно среднему арифметическому ее значений на любой достаточно малой окружности с центром z.

Формула (1) позволяет получить и все остальные элементарные свойства аналитич. Функций. Если, с другой стороны, f(z).является регулярной аналитич. Функцией в бесконечной области - внешности замкнутой кривой Lи на L, то справедлива интегральная формула Коши для бесконечной области. Пусть теперь Г - некоторая, не обязательно замкнутая, кусочно гладкая кривая, расположенная в конечной плоскости - непрерывная комплексная функция на Г и z - точка, не лежащая на Г. И н т е г р а л о м типа Коши (и. Т. К.) наз. Обобщение К. И. В виде Функцию наз. Иногда плотностью интеграла типа Кош и. Простейшие свойства и. Т. К. 1) F(z) - регулярная аналитич. Функция переменного z в любой области, не содержащей точек Г. 2) производные F(n)(z) выражаются формулами 3) функция регулярна в бесконечности, причем при С точки зрения общей теории аналитич.

Функций и применений к механике и физике, основное значение имеет вопрос о существовании граничных значений и. Т. К. При приближении к Г и об их аналитич. Выражении. К. .