Коши Интегральная Теорема

если f(z) - регулярная аналитич. Функция комплексного переменного z в односвязной области Dна комплексной плоскости С = С 1, то интеграл от f(z), взятый по любой замкнутой спрямляемой кривой g, расположенной в D, равен нулю, т. Е. Эквивалентная формулировка К. И. Т. Утверждает, что интеграл не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего фиксированные точки а и 6 в области D. Именно такой в сущности и была первоначальная формулировка К. И. Т., предложенная О. Коши в 1825 (см. [1]). Близкие формулировки имеются в письмах К. Гаусса (С. Gauss, 1811). Доказательство О. Коши содержало дополнительное предположение непрерывности производной f'(z). Первое полное доказательство дано Э. Гурса [2]. Свойство аналитич. Функций, выражаемое К.

И. Т., полностью характеризует последние (см. Мореры теорема), и потому из К. И. Т. Выводятся все основные свойства аналитич. Функций. В случае произвольной области Dна плоскости С или на римановой поверхности К. И. Т. Может быть сформулирована так. Если f(z) - регулярная аналитич. Функция в области D, то интеграл от f(z) по любой спрямляемой замкнутой кривой гомотопной нулю в D, равен нулю. Распространением К. И. Т. На случай аналитич. Функций многих комплексных переменных является теорема Коши - Пуанкаре. Если f(z), z=(z1, ..., zn),- регулярная аналитич. Функция в области Dкомплексного пространства то для любой (п+1)-мерной поверхности с гладкой границей интеграл где f(z)dz - сокращенное обозначение голоморфной дифференциальной формы При п=1 поверхность Gи область Dимеют одинаковую размерность, n+1=2n (случай классической К.

И. Т.). При n>1 размерность Gменьше размерности D,n+1<2n. См. Также Вычет, Ноши интеграл. Лит.:[1] Cauchy A. L., CEuvres completes, ser. 1, t. 4, P., 1890, p. 285. [2] Goursat E., "Acta math.", 1884, v. 4. P. 197-200. [3] М а р.