Коши Распределение

- непрерывное распределение вероятностей с плотностью и функцией распределения где - параметры. К. Р. Одновершинно и симметрично относительно точки x=m, являющейся модой и медианой этого распределения. Моменты положительного порядка, в том числе и математич. Ожидание, не существуют. Характеристич. Функция имеет вид Класс К. Р. Замкнут относительно линейных преобразований. Если случайная величина X имеет К. Р. С параметрами l и m, то случайная величина Y=aX+b также имеет К. Р. С параметрами l'-|a|l и m'=am+b. Класс К. Р. Замкнут относительно операции свептки. иначе, сумма независимых случайных величин с К. Р. Снова имеет К. Р. Таким образом, К. Р., также как нормальное распределение, принадлежит к классу устойчивых распределений, а именно, является симметричным устойчивым распределением с показателем 1.

Следствием соотношения (*) является следующее свойство К. Р. Если случайные величины X1, . ., Х n независимы и имеют одно и то же К. Р., то арифметическое среднее имеет такое же распределение, как и каждая величина Х k. Еще одна особенность К. Р. Состоит в том, что в семействе К. Р. Распределение суммы случайных величин может быть задано формулой (*), даже если величины зависимы. Напр., если Xи Y независимы и имеют одинаковое К. Р., то случайные величины Х+Х и X+Y имеют одно и то же К. Р. К. Р. С параметрами есть t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным 1. К. Р. С параметрами совпадает с распределением случайной величины где Xи Yнезависимы и нормально распределены с параметрами (0, ) и (0, 1) соответственно.

Такое же К. Р. Имеет функция ". Случайной величины z, равномерно распределенной на отрезке К. Р. Определяется также и в пространствах размерности больше единицы. К. Р. Рассмотрено О. Коши (A. Cauchy). Лит.:ШФеллер В., Введение и теорию вероятностей и ее приложения, пер. С англ., т. 2, М., 1967. А. В. Прохоров.