Круговой Метод

- один из наиболее общих методов аддитивной теории чисел. Пусть - произвольные множества натуральных чисел, N - натуральное число и - число решений уравнения где Изучением величин занимается аддитивная теория чисел. Напр., если доказать, что , больше нуля при всех N, то это будет означать, что любое натуральное число является суммой kслагаемых чисел множеств Пусть, далее, s - комплексное число, и является производящей функцией величин По формуле Коши Последний интеграл изучается при Окружность интегрирования разбивается на "большие" и "малые" дуги, центрами к-рых являются рациональные числа. Для целого ряда аддитивных задач удается достаточно полно исследовать интегралы по "большим" дугам, к-рые дают "главную" часть величины и оценить интегралы по "малым" дугам, к-рые дают "остаточный" член асимптотич.

Формулы для Введение И. М. Виноградовым в К. М. Тригопомет-рич. Сумм не только сильно упростило его применения, но и дало возможность единым способом решать широкий круг самых разных аддитивных задач. Основой К. М. В форме тригонометрич. Сумм является следующая формула. Из этой формулы следует, что Конечные суммы наз. Тригонометрическими. Для исследования отрезок интегрирования [0, 1] разбивается на "большие" и "малые" дуги - отрезки с центрами в рациональных точках с "малыми" и "большими" знаменателями. Для многих аддитивных задач удается с хорошей точностью вычислить интегралы по "большим" дугам (тригонометрич. Суммы для а из "больших" дуг близки к рациональным тригонометрич. Суммам с малым знаменателем, хорошо вычисляются и являются "большими").

На "малых" же дугах, к-рые содержат основную долю точек отрезка [0, 1], тригонометрич. Суммы "малы". Их удается нетривиально оценить (см. Тригонометрических сумм метод, Виноградова метод), что позволяет получить асимптотич. Формулу для С помощью К. М. В форме тригонометрич. Сумм и метода И. М. Виноградова оценок тригонометрич. Сумм получены наиболее сильные результаты в аддитивной теории чисел (см. Варинга проблема, Гольдбаха проблема. Гольдбаха-Варинга проблема, Гильберта - Камке проблема). Лит.:[1] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971. [2] X у а Л о - г е н, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. С нем., М., 1964. [3] К а р а ц у б а А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975.

А. А. Карацуба.