Крулля - Ремака - Шмидта Теорема

- группа утверждений, касающихся связи между прямыми разложениями группы или кольца. Теоретико-структурная форма этого результата известна как теорема Оре (см. Дедекиндова решетка). Для группы Gс произвольной системой операторов имеет место теорема Шмидта (Р. Ремак получил этот результат для конечных групп [2], а В. Крулль - для колец [1]). Если такая группа обладает главным рядом, то любые два ее разложения в прямое произведение с неразложимыми сомножителями центрально изоморфны, т. Е. Между множествами сомножителей каждого из этих разложений может быть установлено взаимно однозначное соответствие и, если - соответствующие друг другу сомножители, то существует такой изоморфизм j. для всякого лежит в центре группы G ([3], см.

Также [4]). А. Г. Курош установил, что можно ограничиться требованием существования главного ряда лишь у факторгрупп группы G, вложимых в ее центр. Теорема Шмидта, как теорема для групп с операторами, в частности, справедлива для модуля над любым кольцом. Однако модуль Мнеразложим, если его кольцо эндоморфизмов локально (см. Локальное кольцо), а при нек-рых ограничениях (напр., если М - модуль конечной длины) справедливо и обратное. В связи с этим К.- Р.- Ш. Т. Для модулей может быть сформулирована так. Два разложения где кольца эндоморфизмов модулей локальны, изоморфны. При этом каждое слагаемое одного из разложений может быть заменено нек-рым слагаемым другого. В нек-рых случаях такую замену можно осуществить и для бесконечного множества слагаемых.

К исследованию вопросов, связанных с К.- Р.- Ш. Т., разработан теоретико-категорный подход, использующий рассмотрение категории подмодулей прямых сумм данных модулей. Лит.:[1] К r u l l W., "Math. Ann.", 1924, Bd 91, S. 1-46. (2] Remak R., "J. Reine und angew. Math.", 1911, Bd 139, 8. 293 - 308. [3] Шмидт О. К)., "Math. Z.", 1928, Bd 29, S. 34-41. [4] К у p о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967. 15] Л а м в е к И., Кольца и модули, пер. С англ., М., 1971. To] Ф е и с К., Алгебра. Кольца, модули и категории, пер. Е англ., т. 1-2, М., 1977-79. [7] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 14, М., 1976, с. 57-190. Л. А. Скорняков.