Линзовое Пространство

- многообразие нечетной размерности, возникающее как пространство орбит изометричных свободных действий циклич. Групп на сфере S2n-1. Удобно взять в качестве S2n-1 единичную сферу в комплексном пространстве в к-ром фиксирован базис. Пусть действует на каждой координате zk умножением на где тE обратимо по модулю h, т. Е. Существуют числа lk такие, что . Это задает изометричное и свободное (благодаря условию обратимости mimod h).действие на S2n-l, причем любое такое действие имеет описанный вид в подходящей системе координат. Рейдемейстера кручение, отвечающее корню h-й степени из единицы, определяется для Л. П. построенного этим способом, формулой Любое кусочно линейное гомеоморфное ему Л. П. Lдолжно иметь равное (с точностью до ) кручение и оказывается, что наборы чисел должны совпадать.

Таким образом, эти наборы характеризуют Л. П. Однозначно с точностью до кусочно линейного гомеоморфизма и даже до изометрии, а с другой стороны, благодаря топологич. Инвариантности кручения - и с точностью до гомеоморфизма. Л. П. Асферично до размерности 2п-2 (т. Е. ), а фундаментальная группа равна ввиду того факта, что универсальным накрывающим для служит сфера S2n-1. Гомологии Lсовпадают до размерности 2n-2 с гомологиями группы т. Е. Равны во всех размерностях от 2 до 2n-2 и ~ Прямой предел пространств Lдает Эйленберга - Маклейна пространство типа Два Л. П. Гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда совпадают зацепления коэффициенты где а - образующая группы двумерных когомологий. С помощью этих инвариантов устанавливается существование среди Л.

П. Асимметричных многообразий. В трехмерном случае Л. П. Совпадают с многообразиями, имеющими Хегора диаграмму рода 1, и поэтому они являются Зейферта многообразиями. Фундаментальную область действия на S3 удобно представлять себе в виде "линзы" - объединения шарового сегмента с его зеркальным образом - откуда и возникло название Л. П. Лит.:[1] Пуанкаре А., Избранные труды, т. 2, 1972, с. 728. [2] де Рам Ж., "Матем. Сб.", 1936, т. 1, с. 737 - 43. [3] Зейферт Г., Трельфалль В., Топология, пер. С нем., М.-Л., 1938. [4] Milnor J., Burlct О., в кн. Essays on Topology and Related topics, В., 1970., p. 12-17. А. В. Чернавский. .