Люрота Проблема

- проблема характеризации подполей поля рациональных функций. В 1876 Ж. Люрот [1] (см. Также [2]) доказал, что всякое подполе поля рациональных функций от одной переменной k(x), содержащее поле kи отличное от k, изоморфно полю k(x).(теорема Л ю р о т а). Вопрос о том, верно ли аналогичное утверждение для подполей Л поля известен как проблема Люрота. Пусть X - алгебраич. Многообразие, являющееся моделью (см. Минимальная модель).поля Л, тогда вложение определяет рациональное отображение образ к-рого плотен в X. Многообразия, для к-рых существует такое отображение на них проективного пространства, наз. У н и р а ц и о н а л ь н ы м и. Рациональными наз. Многообразия, бирационально изоморфные Р т. На геометрич. Языке Л.

П. Может быть сформулирована следующим образом. Является ли всякое унирацпональное многообразие Xрациональным. Без ограничения общности можно предполагать, что dim X=n, т. Е. Что Л имеет степень трансцендентности, равную п. В случае n=1 положительное решение Л. П. Для любого основного поля kдает сформулированная выше теорема Люрота. Для n=2 и алгебраически замкнутого поля kхарактеристики 0 проблема положительно решена Г. Кастельнуово (G. Castelnuovo) в 1893. Из критерия рациональности Г. Кастельнуово следует также положительное решение Л. П. Для таких поверхностей Xнад алгебраически замкнутым полем произвольной характеристики, для к-рых существует сепарабельное отображение (см. [7]). Для несепарабельных отображений f существуют примеры, дающие отрицательное решение Л.

П. Для полей простой характеристики. В случае алгебраически незамкнутого поля kтакими примерами являются минимальные кубич. Поверхности в Р 3, обладающие k-точками. Для трехмерных многообразий Л. П. Также решается отрицательно (см. [4], [5], [6]). Доказана [5] нерациональность трехмерной кубической гиперповерхности, к-рая, как известно, унирациональна. Для доказательства был найден новый метод, основанный на сравнении промежуточного якобиана кубики с якобианами кривых. Доказана [4] нерациональность гладких трехмерных квартик. Для конструкции контрпримеров использована [6] в качестве инварианта группа Брауэра многообразия (группа кручений в трехмерных кого-мологиях). Этот бирациональный инвариант использован также для построения контрпримеров во всех размерностях Лит.:[1] L u г о t h J., "Math.

Ann.", 1876, Bd 9, S. 163 - 65. [2] Ван дер В а р д е н Б. Л., Алгебра, пер. С нем., М., 1976. [3] Манин Ю. И., Кубические формы, М., 1972. L4J И с к о в с к и х В. А., Манин Ю. И., "Матем. Сб.", 197), т. 86, № 1, с. 140-66. [5] К л е м е н с К. Г., Г р и ф ф и т с Ф. С., "Математика", 1972, т. 16, № 6, с. 3 - 32. 1973, т. 17, № 1, с. 3-41. [6] А г t i п М., М u m f о г d D., "Рrос. London Math. Soc.", 1972, v. 25, № 1, p. 75-95. [7] Z a r i s k i O., "Amer. J. Math.", 1958, v. 80, p. 146-84. В. А. Псковских. .