Ляпунова Характеристический Показатель

решения линейной системы - верхний предел где - решение линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений здесь - суммируемое на каждом отрезке отображение или суммируемое на каждом отрезке отображение В координатной записи где - суммируемые на каждом отрезке функции, а (или любая другая эквивалентная норма. Не зависит от выбора нормы в или в ). Теорема Ляпунова. Пусть эквивалентно. Тогда для всякого решения системы (1) Л. Х. П. - действительное число (т. Е. ). Для Л. Х. П. Ненулевых решений системы (1) справедливы утверждения. 3) существуют линейно независимые решения xi(t), i=1, ..., n, системы (1), обладающие свойством. Для всяких плинейно независимых решений i=1, ..., п, системы (1), занумерованных в порядке убывания Л.

Х. П., т. Е. При выполняются неравенства Фундаментальная система решений обладающих этим свойством, наз. Нормальной. При этом. а) семейство чисел не зависит от выбора нормальной фундаментальной системы б) для всякого решения системы (1) Л. Х. П. равен нек-рому в) Числа наз. Л. Х. П. Системы (1). Число наз. Часто старшим Л. Х. П. Системы (1). Множество всех Л. Х. П. Ненулевых решений системы (1) наз. Ее с п е к т р о м. Частные с л у ч а и. 1) Система с постоянными коэффициентами (т. Е. ). В этом случае равны действительным частям собственных значений оператора А(0) (матрицы ). 2) Система с периодич. Коэффициентами (т. Е. ). В этом случае где - мультипликаторы системы (1), занумерованные в порядке невозрастания их модулей (каждый берется столько раз, какова его кратность).

Роль Л. Х. П. В теории устойчивости по Ляпунову основана на следующем утверждении. Если (>0), то решения системы (1) асимптотически устойчивы (соответственно неустойчивы). Из того, что не следует, что нулевое решение системы устойчиво по Ляпунову. Однако если дополнительно известно, что система (1) правильная линейная система, то такое заключение справедливо (теорема Ляпунова). Пусть система x=B(t)xполучена малым возмущением системы (1), удовлетворяющей условию т. Е. Расстояние между ними, определяемое формулой мало. При n>1 отсюда не следует, что величина мала (следует, если система (1) имеет постоянные или периодич. Коэффициенты, а также для нек-рых других систем). Иными словами, функционалы не всюду непрерывны на пространстве систем (1) наделенном указанной метрикой (2).

Л. Х. П. Введены А. М. Ляпуновым, причем не только для решений системы (1), но и для произвольных функций на (см. [1]). Лит.:[1] Л я п у н о в А. М., Собр. Соч., т. 2, М.-Л., 1956, с. 7-263. [2] Б ы л о в Б. Ф., В и н о г р а д Р. Э., Гробман Д. М., Н е м ы ц к и й В. В., Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966. [3] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 71 -146. В. М. Миллионщиков. .