Мальцева Алгебра

м у ф а н г л и е в а алгебра,- линейная алгебра над полем, удовлетворяющая тождествам где - якобиан элементов х, у, z.M. А. Представляют собой естественное обобщение алгебр Ли. Любая М. А. Является бинарно лиевой алгеброй. М. А. Были введены А. И. Мальцевым [1] и названы им муфанг-лиевыми алгебрами ввиду их связи с аналитич. Лупами Муфанг. Касательная алгебра локальной аналитич. Лупы Муфанг является М. А. Верно также и обратное. Любая конечномерная М. А. Над полным нормированным полем характеристики 0 является касательной алгеброй нек-рой локальной аналитич. Лупы Муфанг. Имеется тесная связь между М. А. И альтернативными алгебрами (см. Альтернативные кольца и алгебры). Коммутаторная алгебра произвольной альтернативной алгебры, т.

Е. Алгебра, получаемая заменой основного умножения на операцию коммутирования является М. А. Всякая простая М. А. Характеристики либо лиева, либо есть 7-мерная алгебра над своим центроидом. Всякая первичная М. А. (при ) либо лиева, либо вкладывается в качестве подкольца в подходящую 7-мерную простую алгебру над нек-рым полем. Произвольная полупервичная М. А. (при ) изоморфно вкладывается в качестве подалгебры в коммутаторную алгебру нек-рой альтернативной алгебры. Вопрос о вложении произвольной М. А. В коммутаторную алгебру альтернативой алгебры открыт (1982). Пусть Z(А) - лиев центр М. А. А. Для любого идеала I произвольной полупервичной М. А. А(при ) Свойства алгебраич. М. А. Аналогичны свойствам алгебраич. Алгебр Ли. В произвольной алгебраич.

М. А. (при ) существует локально конечный радикал, т. Е. Максимальный локально конечный идеал, факторалгебра по к-рому не содержит локально конечных идеалов. М. А. Характеристики или р=0, удовлетворяющие n-му условию Энгеля (см. Энгелева алгебра), локально нильпотентны. Различие между М. А. И алгебрами Ли проявляется при переходе от локальной нильпотентности к глобальной. Имеется пример М. А. (р=0), удовлетворяющей 3-му условию Энгеля, разрешимой индекса 2, но не нильпотентной. Для М. А. Имеется аналог теоремы Энгеля, играющей большую роль в структурной теории алгебр Ли. М. А., удовлетворяющая условию Энгеля и условию максимальности для подалгебр, нильпотентна. Этот результат справедлив даже в более общем случае - для бинарно лиевых алгебр.

Во всякой свободной М. А. (при ) имеется ненулевой лиев центр. Свободная М. А. (при ) с тремя и более образующими не является первичной алгеброй. Свободная М. А. (при р=0) с девятью и более образующими содержит тривиальные идеалы. Если Rn - многообразие М. А., порожденное свободной М. А. От побразующих и р=0, то цепочка многообразий не стабилизируется ни на каком конечном шаге. Значительно развита теория конечномерных М. А. И их представлений. Основные результаты этой теории аналогичны результатам теории алгебр Ли. Имеются аналоги классич. Теорем Ли. Если r - расщепляемое представление разрешимой М. А. Характеристики 0, то все матрицы r(х).могут быть приведены одновременно к треугольному виду. Если r - расщепляемое представление нильпотентной М.

А. В пространстве V, то V разлагается в прямую сумму весовых подпространств Va, и все матрицы ограничений операторов r(х).на Va. Могут быть приведены одновременно к треугольному виду с числом a(x) на главной диагонали. Следующие результаты аналогичны критериям Кар-тана разрешимости и полупростоты алгебр Ли. Если r - точное представление М. А. ( р=0).и билинейная форма на А, ассоциированная с представлением r, тривиальна, то алгебра Аразрешима. Если r - представление полупростой М. А., то форма следа, ассоциированная с r, невырождена. Если киллингова форма алгебры Аневырождена, то Аполупроста. Любое представление полупростой М. А. С р=0вполне приводимо. Если S - радикал (максимальный разрешимый идеал) М. А. А, N - нильрадикал (максимальный нильпотентный идеал), то для любого дифференцирования Dалгебры А Произвольная конечномерная М.

А. Ахарактеристики 0 есть прямая сумма (как линейных пространств) своего радикала Sи полупростой подалгебры В, изоморфной факторалгебре алгебры Апо радикалу S, и любые для полупростых фактора сопряжены внутренним автоморфизмом (аналог теоремы Леви - Мальцева - Хариш-Чандра, известной для алгебр Ли). Лит. [1] М а л ь ц е в А. И., "Матем. Сб.", 1955, т. 36, № 3, с. 569-76. [2] S a g l е A. A., "Trails. Amer. Math. Soc.", 1961, v. 101, X" 3, p. 426-58. [3] К у з ь м и н Е. Н., "Алгебра и логика", 1968, т. 7, № 2, с. 42-47. [4] е г о же, там же, № 4, с. 48-69. [5] е г о же, там же, 1971, т. 10, № 1, с. 3-22. [6] его же, там же, 1977, т. 16, № 4, с. 424-31. [7] Филиппов В. Т. Там же, 1976, т. 15, № 1, с. 89-109. [8] е г о же, там же, 1977, т. 16, № 1, с. 101-108.

[9] Г р и ш к о в А. Н., там же, № 4, с. 389-96. [10] Шестаков И. П., там же, № 2, с. 227 - 46. В. Т. Филиппов. .